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Privatdozent Dr. Hagen Bobzin

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Der optimale Verbrauchsplan: Analytische Bestimmung

Nutzenmaximierung

ökonomisches Prinzip
Restriktion als Ungleichung Problem der Maximierung einer Nutzenfunktion $u(x_1, x_2)$ unter der Nebenbedingung eines gegebenen Einkommens $y$, wobei die Nebenbedingung als Gleichung vorliegt. $$\begin{eqnarray*} &&u(x_1, x_2) \to \text{Max.}\\ \text{u.d.NB.}\quad &&p_1x_1 + p_2x_2 = y\\ && x_1, x_2\geq 0 \end{eqnarray*}$$ Grafische Darstellung der Lösung: Lagrange-Ansatz: $$\cL(x_1, x_2, \lambda) = u(x_1, x_2) + \lambda (y - p_1x_1 - p_2x_2)$$ Unbekannte: $x_1$, $x_2$, $\lambda=$ Lagrange-Multiplikator
Parameter: $p_1$, $p_2$, $y$ sind zunächst als Konstante zu behandeln. Entscheidend: $\cL$ nimmt in Bezug auf $x_1$, $x_2$ das Maximum dort an, wo auch die Zielfunktion $u$ maximal ist (und umgekehrt).

1. Bedingungen 1. Ordnung oder Lagrange-Bedingungen: partielle Ableitungen gleich Null setzen.
   Damit erhält man ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen mit 3 Variablen $x_1$, $x_2$ und $\lambda$.
2. Bedingungen 2. Ordnung (Min. oder Max.): hier nicht berücksichtigt!

Notwendige Bedingungen 1. Ordnung (3 Gleichungen, 3 Variablen) $$\begin{eqnarray*} \abl{\cL}{x_1} &=& \abl{u(x_1^*, x_2^*)}{x_1} - \lambda^* p_1 = 0\\ \abl{\cL}{x_2} &=& \abl{u(x_1^*, x_2^*)}{x_2} - \lambda^* p_2 = 0\\ \abl{\cL}{\lambda} &=& y - p_1x_1^* - p_2x_2^* = 0 \quad\text{Nebenbedingung des Problems} \end{eqnarray*}$$ Aus den beiden ersten Gleichungen lässt sich $\lambda^*$ eliminieren $$\frac{{\partial}u/{\partial}x_1}{{\partial}u/{\partial}x_2} = \frac{p_1}{p_2} \quad\text{oder}\quad \frac{{\partial}u/{\partial}x_1}{p_1} = \frac{{\partial}u/{\partial}x_2}{p_2} = \lambda^*$$ Die linke Gleichung zur Grenzrate der Substitution (GRS) besagt, dass sich die Grenznutzen wie die Güterpreise verhalten. Die rechte Aussage entspricht der modernen Fassung des 2. Gossenschen Gesetzes; Gesetz vom Ausgleich der Grenznutzen des Geldes. Also liegen 2 Gleichungen mit 2 Variablen (nämlich $x_1^*$, $x_2^*$) vor: $$\begin{eqnarray*} \text{Tangentialpunkt} && GRS = \frac{{\partial}u/{\partial}x_1}{{\partial}u/{\partial}x_2} = -\frac{\d x_2}{\d x_1} = \frac{p_1}{p_2}.\\ \text{auf der Budgetgleichung} &&y = p_1x_1^*+p_2x_2^* \end{eqnarray*}$$ Aufgrund der Eigenschaften der Nutzenfunktion und der Bilanzgleichung (konstante Preise) liefert das Gleichungssystem

• die optimalen Verbrauchsmengen oder auch Marshallschen Nachfragefunktionen $$x_1^* = x_1^M(p_1, p_2, y) \quad\text{und}\quad x_2^* = x_2^M(p_1, p_2, y);$$
• sowie den optimalen Wert des Lagrange-Multiplikators $\lambda^* = \lambda(p_1, p_2, y)$. Entsprechend dem 2. Gossenschen Gesetz kann $\lambda^*$ ökonomisch als Grenznutzen des Geldes interpretiert werden.

Setzt man die Marshallschen Nachfragefunktionen in die Zielfunktion ein, dann ergibt sich die indirekte Nutzenfunktion als Lösung des Problems. Man beachte, dass die Lösung von den Parametern $p_1$, $p_2$ und $y$ des Problems abhängt. Wird einer der Güterpreise variiert, dann ändert sich auch die Lösung. Dieser Tatbestand wird durch die Preis-Konsum-Kurve erfasst. Der analoge Effekt einer Änderung des Einkommens wird mit Hilfe der Einkommen-Konsum-Kurve bzw. den Engel-Kurven beschrieben. intertemporale Nutzenmaximierung
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