Privatdozent Dr. Hagen Bobzin

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Nutzenmaximales Arbeitsangebots

Problem der Maximierung einer Nutzenfunktion $u(x,F)$ unter der Nebenbedingung einer gegebenen Zeit pro Periode, wobei die Nebenbedingung als Gleichung vorliegt. Die Nutzenfunktion hängt vom Konsum $x$ (Konsumausgaben $e=px$) und der Freizeit $F$ ab. Pro Tag sind 16 Stunden zu disponieren (bei 8 Stunden Schlaf). Jede Stunde Freizeit kostet eine Stunde Arbeitszeit $L$ (Opportunitätskosten). Bei dem Lohnsatz $w$ (Euro/Stunde) ergibt sich das Einkommen $y$, das mit den Ausgaben $e$ übereinstimmt. \begin{eqnarray*} &&U = u(x,F) \to \text{Max.}\\ \text{u.d.NB.}\quad &&A + F = 16\\ &&y = wA\\ &&y = px\\ &&A,F,x\geq 0 \end{eqnarray*} Eliminiert man die Variablen $y$ und $A$, dann stellt sich eine einzige Nebenbedingung ein: \[ \frac{px}{w} + F = 16\quad\text{oder}\quad px + wF = w16 \] Lagrange-Ansatz \[ \cL(x,F,\lambda) = u(x,F) + \lambda (w16-px-wF) \] Unbekannte: $x$, $F$, $\lambda=$ Lagrange-Multiplikator
Parameter: $p$, $w$ sind zunächst als Konstanten zu behandeln. Entscheidend: $\cL$ nimmt in Bezug auf $x$, $F$ das Maximum dort an, wo auch die Zielfunktion $u$ maximal ist (und umgekehrt).

1. Bedingungen 1. Ordnung oder Lagrange-Bedingungen: partielle Ableitungen gleich Null setzen.
   Damit erhält man ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen mit 3 Variablen $x$, $F$ und $\lambda$.
2. Bedingungen 2. Ordnung (Min. oder Max.): hier nicht berücksichtigt!

Notwendige Bedingungen 1. Ordnung (3 Gleichungen, 3 Variablen) \begin{eqnarray*} \abl{\cL}{x} &=& \abl{u(x^*,F^*)}{x} - \lambda^* p = 0\\ \abl{\cL}{F} &=& \abl{u(x^*,F^*)}{F} - \lambda^* w = 0\\ \abl{\cL}{\lambda} &=&w16-px^*-wF^* = 0 \quad\text{Nebenbedingung des Problems} \end{eqnarray*} Aus den beiden ersten Gleichungen lässt sich $\lambda^*$ eliminieren \[ \frac{{\partial}u/{\partial}F}{{\partial}u/{\partial}x} = \frac{w}{p} \quad\text{oder}\quad \frac{{\partial}u/{\partial}x}{p}= \frac{{\partial}u/{\partial}F}{w}=\lambda^* \] Die Grenznutzen verhalten sich wie der (Real-)Lohnsatz. Oder äquivalent, Gleichheit der Grenznutzen des Geldes $= \lambda^*$ (2. Gossensche Gesetz). Also liegen 2 Gleichungen mit 2 Variablen (nämlich $x^*$ ,$F^*$) vor: \begin{eqnarray*} \text{Tangentialpunkt}\quad &\text{GRS}=\frac{{\partial}u/{\partial}F}{{\partial}u/{\partial}x}=-\frac{\d x}{\d F}=\frac{w}{p}.\\ \text{auf der Budgetgleichung} \quad &w16=px^*+w^*F \end{eqnarray*} Aufgrund der Eigenschaften der Nutzenfunktion (abnehmende GRS) und der Restiktion (konstanter Lohnsatz) liefert das Gleichungssystem

• die optimale Konsumsumme und die Nachfrage nach Freizeit \[ x^*=x(p,w) \quad\text{und}\quad F^*=F(p,w) \]
• das Arbeitsangebot: \[ A^*(p,w) = 16 - F^*(p,w) \]
• den optimalen Wert des Lagrange-Multiplikators $\lambda^*=\lambda(p,w)$. (ökonomische Interpretation)

Beispiel für eine resultierende Lohn-Freizeit-Kurve Setzt man die Nachfragefunktionen in die Zielfunktion ein, dann ergibt sich die indirekte Nutzenfunktion als Lösung des Problems. Nutzenmaximierung
intertemporale Nutzenmaximierung