$\def\cL{\mathcal{L}}$ $\def\abl#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\d{\textrm{d}}$

Der optimale Verbrauchsplan: Analytische Bestimmung

Nutzenmaximierung

ökonomisches Prinzip
Problem der Maximierung einer Nutzenfunktion $u(x_1,x_2)$ unter der Nebenbedingung, dass die Ausgaben das gegebene Einkommen $y$ nicht übersteigen dürfen (Nebenbedingung als Ungleichung). \begin{eqnarray*} &&u(x_1,x_2) \to \text{Max.}\\ \text{u.d.NB.}\quad &&p_1x_1 + p_2x_2 \leq y\\ && x_1, x_2\geq 0 \end{eqnarray*} Grafische Darstellung der Lösung:
Abb. Marshallsche Nachfrage
Lagrange-Ansatz: Da es sich um ein Maximierungsproblem handelt, wird die Nebenbedingung zu $y-p_1x_1-p_2x_2 \geq 0$ umgestellt. Der Sinn wird in den nachstehenden Kuhn-Tucker-Bedingungen deutlich. \[ \cL(x_1,x_2,\lambda) = u(x_1, x_2) + \lambda (y - p_1x_1 - p_2x_2) \] Unbekannte: $x_1$, $x_2$, $\lambda=$ Lagrange-Multiplikator
Parameter: $p_1$, $p_2$, $y$ sind zunächst als Konstante zu behandeln.
Entscheidend: $\cL$ nimmt in Bezug auf $x_1$, $x_2$ das Maximum dort an, wo auch $u$ maximal ist (und umgekehrt).
Die Kuhn-Tucker-Bedingungen lauten \begin{eqnarray*} \abl{\cL}{x_1} &\leq 0 && x_1^*\geq 0 && \abl{\cL}{x_1} x_1^*=0\\ \abl{\cL}{x_2} &\leq 0 && x_2^*\geq 0 && \abl{\cL}{x_2} x_2^*=0\\ \abl{\cL}{\lambda} &\geq0 && \lambda^*\geq0 && \abl{\cL}{\lambda}\lambda^*=0 \end{eqnarray*} Unterstellt man eine innere Lösung, also $x_1^*>0$ und $x_2^*>0$, dann muss \begin{eqnarray*} \abl{\cL}{x_1} &= \abl{u(x_1^*,x_2^*)}{x_1} - \lambda^* p_1 = 0\\ \abl{\cL}{x_2} &= \abl{u(x_1^*,x_2^*)}{x_2} - \lambda^* p_2 = 0 \end{eqnarray*} erfüllt sein. Nun lässt sich $\lambda^*$ eliminieren \[ \frac{{\partial}u/{\partial}x_1}{{\partial}u/{\partial}x_2} =\frac{p_1}{p_2} \quad\text{oder}\quad \frac{{\partial}u/{\partial}x_1}{p_1}= \frac{{\partial}u/{\partial}x_2}{p_2}=\lambda^* \] Folglich muss bei positiven Grenznutzen auch $\lambda^*>0$ gelten, so dass \[ \abl{\cL}{\lambda} = y - p_1x_1^* - p_2x_2^* = 0 \] Fazit: Bei positiven Gütermengen, verhalten sich die Grenznutzen wie die Güterpreise. Die rechte Aussage entspricht der modernen Fassung des 2. Gossenschen Gesetzes, wobei sich $\lambda^*$ als Grenznutzen des Geldes interpretieren lässt.
Nachdem $\lambda^*$ eliminiert worden ist, liegen 2 Gleichungen mit 2 Variablen (nämlich $x_1^*$ ,$x_2^*$) vor: \begin{eqnarray*} \text{Tangentialpunkt}\quad &\text{GRS}=\frac{{\partial}u/{\partial}x_1}{{\partial}u/{\partial}x_2}=-\frac{\d x_2}{\d x_1}=\frac{p_1}{p_2}.\\ \text{auf der Budgetgleichung}\quad &y=p_1x_1^*+p_2x_2^* \end{eqnarray*} Beachte: Mit den Kuhn-Tucker-Bedingungen werden auch Ecklösungen erfasst, in denen entweder $x_1^*=0$ oder $x_2^*=0$ gilt. In diesem Fall liegt keine Tangentiallösung mehr vor.
Abb. Marshallsche Nachfrage
Aufgrund der Eigenschaften der Nutzenfunktion (abnehmende GRS) und der Bilanzgleichung (konstante Preise) liefert das Gleichungssystem
Setzt man die Marshallschen Nachfragefunktionen in die Zielfunktion ein, dann ergibt sich die indirekte Nutzenfunktion als Lösung des Problems.
Man beachte, dass die Lösung von den Parametern $p_1$, $p_2$ und $y$ des Problems abhängt. Wird einer der Güterpreise variiert, dann ändert sich auch die Lösung. Dieser Tatbestand wird durch die Preis-Konsum-Kurve erfasst. Der analoge Effekt einer Änderung des Einkommens wird mit Hilfe der Einkommen-Konsum-Kurve bzw. den Engel-Kurven beschrieben.
intertemporale Nutzenmaximierung
Arbeitsangebot