Roys Identität
Roys Identität ist Ausfluss des Umhüllendensatzes und spielt in der Theorie des Haushalts die gleiche Rolle wie in der Theorie der Unternehmung.Beweis (nur für die Haushaltstheorie)
Wolds Theorem Dualität in der Konsumentscheidung Ausgangspunkt ist die indirekte Nutzenfunktion $v(\vp, y)$. Nun kann man die Frage stellen, wann die gegebenen Güterpreise $\vp$ den Gütervektor $\vx$ bei einem gegebenen Einkommen $y$ als als Haushaltsoptimum ausweisen. Die Antwort liefert Roys Identität, die die Marshallschen Mengen generiert: \[ x_j^M(\vp, y)= - \frac{\abl{v(\vp, y)}{p_j}}{\abl{v(\vp, y)}{y}} \qquad j=1,...,n \] Übertragen auf die normierte indirekte Nutzenfunktion mit normierten Preisen $\vp/y$ erhält man \[ x_j^M(\vp/y)=\frac{\abl{v(\vp/y)}{(p_j /y)}} {\sum_k\abl{v(\vp/y)}{(p_k /y)} (p_k /y)} \qquad j=1,...,n \] Zusammenhang mit Woldschen Preisen Dualität in der Theorie der Unternehmung Ausgangspunkt ist die indirekte Produktionsfunktion $z(\vq, c)$. Nun kann man die Frage stellen, wann die gegebenen Faktorpreise $\vq$ den Inputvektor $\vv$ bei einer gegebenen Kostensumme $c$ als Maximalproduktkombination (MPK) ausweisen. Die Antwort liefert Roys Identität, die die Marshallschen Mengen generiert: \[ v_i^M(\vq, c)= - \frac{\abl{z(\vq, c)}{q_i}}{\abl{z(\vq, c)}{c}} \qquad i=1,...,m \] Übertragen auf die normierte indirekte Produktionsfunktion mit normierten Faktorpreisen $\vq/c$ erhält man \[ v_i^M(\vq/c)=\frac{\abl{z(\vq/c)}{(q_i /c)}} {\sum_k\abl{z(\vq/c)}{(q_k /c)} (q_k /c)} \qquad i=1,..., m \] Zusammenhang mit Woldschen Preisen