$\def\abl#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\d{\textrm{d}}$ $\def\vq{\textbf{q}}\def\vv{\textbf{v}}$ $\def\vp{\textbf{p}}\def\vx{\textbf{x}}$ $\def\cL{\mathcal{L}}\def\T{^{\textsf{T}}}$

Roys Identität (Beweis)

Betrachtet man die zur Nutzenmaximierung gehörende Lagrange-Funktion \[ \cL(\vx, \lambda)=u(\vx)+\lambda ( y - \vp\T\vx), \] dann gilt im Optimum mit $\vx^*=\vx^M(\vp, y)$ für die indirekte Nutzenfunktion $v(\vp, y)$ (optimum value function): \[ v(\vp, y)=\cL(\vx^*, \lambda^*)=u( \vx^M(\vp, y) ) +\lambda(\vp, y) [ y - \vp\T\vx^M(\vp, y) ]. \] Nach dem Umhüllenden-Satz gilt: \begin{eqnarray*} \abl{\cL(\vx^*, \lambda^*)}{p_j} &=&\abl{v(\vp, y)\,}{p_j} = - \lambda(\vp, y)\,x_j^M(\vp, y) \quad(j=1,\ldots,n)\quad\text{und}\\ \abl{\cL(\vx^*, \lambda^*)}{y} &=&\abl{v(\vp, y)\,}{y} =\lambda(\vp, y) \end{eqnarray*} Demnach können aus der alleinigen Kenntnis der Lösung $U=v(\vp, y)$ des Nutzenmaximierungsproblems mittels Roys Identität die Marshallschen Nachfragefunktionen abgeleitet werden: \[ x_j^M(\vp, y)=- \frac{\abl{v(\vp, y)}{p_j}} {\abl{v(\vp, y)}{y}}\qquad j=1,...,n. \] (zurück)
Bei normierten Güterpreisen $\tilde\vp=\vp/y$ lautet die zugehörige Lagrange-Funktion \[ \cL(\vx, \lambda)=u(\vx)+\lambda\ ( 1 - \tilde\vp\T\vx\ ), \] Im Optimum mit $\vx^*=\vx^M(\tilde\vp)$ und $\lambda^*=\lambda(\tilde\vp)$ gilt für die normierte indirekte Nutzenfunktion $v(\tilde\vp)$ (optimum value function): \[ v(\tilde\vp)=\cL(\vx^*, \lambda^*)=u( \vx^M(\tilde\vp) ) +\lambda(\tilde\vp) [ 1 - \tilde\vp\T\vx^M(\tilde\vp) ]. \] Der Umhüllenden-Satz besagt \[ \abl{\cL(\vx^*, \lambda^*)}{\tilde p_j} =\abl{v(\tilde\vp)}{\tilde p_j} = - \lambda(\tilde\vp) x_j^M(\tilde\vp), \qquad j=1,\ldots,n \] Summiert man diese Gleichungen nach Multiplikation mit $\tilde p_j$, so folgt \[ \sum_j \abl{v(\tilde\vp)}{\tilde p_j} \tilde p_j = \sum_j - \lambda(\tilde\vp) x_j^M(\tilde\vp)\tilde p_j = - \lambda(\tilde\vp) \sum_j \tilde p_j x_j^* = - \lambda(\tilde\vp) \] Damit egeben sich die Marshallschen Mengen als \[ x_j^M(\tilde\vp)=\frac{\abl{v(\tilde\vp)}{(\tilde p_j)}} {\sum_k\abl{v(\tilde\vp)}{(\tilde p_k)}\ \tilde p_k} \qquad j=1,...,n \] (zurück)