Roys Identität (Beweis)
Betrachtet man die zur
Nutzenmaximierung gehörende
Lagrange-Funktion
\[
\cL(\vx, \lambda)=u(\vx)+\lambda ( y - \vp\T\vx),
\]
dann gilt im Optimum mit $\vx^*=\vx^M(\vp, y)$ für die
indirekte Nutzenfunktion $v(\vp, y)$
(optimum value function):
\[
v(\vp, y)=\cL(\vx^*, \lambda^*)=u( \vx^M(\vp, y) )
+\lambda(\vp, y) [ y - \vp\T\vx^M(\vp, y) ].
\]
Nach dem
Umhüllenden-Satz gilt:
\begin{eqnarray*}
\abl{\cL(\vx^*, \lambda^*)}{p_j}
&=&\abl{v(\vp, y)\,}{p_j}
= - \lambda(\vp, y)\,x_j^M(\vp, y) \quad(j=1,\ldots,n)\quad\text{und}\\
\abl{\cL(\vx^*, \lambda^*)}{y}
&=&\abl{v(\vp, y)\,}{y} =\lambda(\vp, y)
\end{eqnarray*}
Demnach können aus der alleinigen Kenntnis der Lösung $U=v(\vp, y)$ des
Nutzenmaximierungsproblems mittels Roys Identität die Marshallschen
Nachfragefunktionen abgeleitet werden:
\[
x_j^M(\vp, y)=- \frac{\abl{v(\vp, y)}{p_j}}
{\abl{v(\vp, y)}{y}}\qquad j=1,...,n.
\]
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Bei
normierten Güterpreisen
$\tilde\vp=\vp/y$ lautet die zugehörige Lagrange-Funktion
\[
\cL(\vx, \lambda)=u(\vx)+\lambda\ ( 1 - \tilde\vp\T\vx\ ),
\]
Im Optimum mit $\vx^*=\vx^M(\tilde\vp)$ und $\lambda^*=\lambda(\tilde\vp)$ gilt für
die normierte
indirekte Nutzenfunktion
$v(\tilde\vp)$ (optimum value function):
\[
v(\tilde\vp)=\cL(\vx^*, \lambda^*)=u( \vx^M(\tilde\vp) )
+\lambda(\tilde\vp) [ 1 - \tilde\vp\T\vx^M(\tilde\vp) ].
\]
Der
Umhüllenden-Satz besagt
\[
\abl{\cL(\vx^*, \lambda^*)}{\tilde p_j}
=\abl{v(\tilde\vp)}{\tilde p_j}
= - \lambda(\tilde\vp) x_j^M(\tilde\vp), \qquad j=1,\ldots,n
\]
Summiert man diese Gleichungen nach Multiplikation mit $\tilde p_j$, so folgt
\[
\sum_j \abl{v(\tilde\vp)}{\tilde p_j} \tilde p_j
= \sum_j - \lambda(\tilde\vp) x_j^M(\tilde\vp)\tilde p_j
= - \lambda(\tilde\vp) \sum_j \tilde p_j x_j^*
= - \lambda(\tilde\vp)
\]
Damit egeben sich die Marshallschen Mengen als
\[
x_j^M(\tilde\vp)=\frac{\abl{v(\tilde\vp)}{(\tilde p_j)}}
{\sum_k\abl{v(\tilde\vp)}{(\tilde p_k)}\ \tilde p_k} \qquad j=1,...,n
\]
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