Ausgangspunkt ist das Problem der Kostenminimierung
(für zwei Produktionsfaktoren $v_1$ und $v_2$) bei gegebenem Output $x$ und
gegebenen Faktorpreisen $q_1$ und $q_2$.
\[
c(q_1,q_2,x) = \min_{v_1,v_2} \left\{ q_1v_1 + q_2v_2\ |\ x\leq x(v_1,v_2) \right\}
\]
Nachdem man die optimalen nachgefragten Mengen (Minimalkostenkombination), also die
Nachfragefunktionen,
\[
v_1^* = v_1^H(q_1,q_2,x) \quad\text{und}\quad v_2^* = v_2^H(q_1,q_2,x)
\]
ermittelt hat, ist schließlich die Lösung des Minimierungsproblems zu
berechnen. Hierzu werden die Nachfragefunktionen in die Zielfunktion
eingesetzt.
\[
c(q_1,q_2,x) = q_1v_1^H(q_1,q_2,x) + q_2v_2^H(q_1,q_2,x)
\]
Diese Kostenfunktion gibt die minimalen Faktorkosten
für eine gegebene Produktionstechnik an, die bei der Produktion der gegebenen
Outputmengen $x$ und bei gegebenen Faktorpreisen $q_1$ und $q_2$ entstehen.
Eigenschaften der Kostenfunktion Grenzkosten Shephards Lemma Faktorvariation, partielle
Ist einer der Produktionsfaktoren fix (hier $v_2 = v_2^K$), dann lautet das
Problem der Kostenminimierung
\[
c(q_1,q_2,x,v_2^K) = \min \left\{ q_1v_1 + q_2v_2^K\ |\ x\leq x(v_1,v_2^K) \right\}
\]
Da $v_2^K$ unabhängig vom Output $x$ konstant ist, wird $F = q_2 v_2^K$ als
fixe Kosten bezeichnet. Die variablen
Kosten beziehen sich auf die Produktionsfaktoren, die mit dem Output
variieren, $q_1 v_1$. Vernachlässigt man die fixen Kosten, dann ergibt sich
die Funktion der variablen Kosten $c_v$ aus
\[
c_v(q_1,x,v_2^K) = \min \left\{ q_1v_1\ |\ x \leq x(v_1,v_2^K) \right\}
\]
Symbolisch wird die Unterscheidung variabler und fixer Kosten deutlicher,
wenn man die konstanten Faktorpreise und den fixen Faktor unterdrückt.
\[
c(x) = c_v(x) + F
\]
Aus dem Ertragsgesetz resultiert die
folgende Abbildung für die Kostenfunktion und ihre charakteristischen Größen
(totale durchschnittliche Kosten, variable durchschnittliche Kosten,
durchschnittliche Fixkosten, Grenzkosten).
