Kostenfunktion

1. Totale Faktorvariation
Ausgangspunkt ist das Problem der Kostenminimierung (für zwei Produktionsfaktoren $v_1$ und $v_2$) bei gegebenem Output $x$ und gegebenen Faktorpreisen $q_1$ und $q_2$. \[ c(q_1,q_2,x) = \min_{v_1,v_2} \left\{ q_1v_1 + q_2v_2\ |\ x\leq x(v_1,v_2) \right\} \] Nachdem man die optimalen nachgefragten Mengen (Minimalkostenkombination), also die Nachfragefunktionen, \[ v_1^* = v_1^H(q_1,q_2,x) \quad\text{und}\quad v_2^* = v_2^H(q_1,q_2,x) \] ermittelt hat, ist schließlich die Lösung des Minimierungsproblems zu berechnen. Hierzu werden die Nachfragefunktionen in die Zielfunktion eingesetzt. \[ c(q_1,q_2,x) = q_1v_1^H(q_1,q_2,x) + q_2v_2^H(q_1,q_2,x) \] Diese Kostenfunktion gibt die minimalen Faktorkosten für eine gegebene Produktionstechnik an, die bei der Produktion der gegebenen Outputmengen $x$ und bei gegebenen Faktorpreisen $q_1$ und $q_2$ entstehen.
Eigenschaften der Kostenfunktion
Grenzkosten
Shephards Lemma
Faktorvariation, partielle
2. Partielle Faktorvariation
Ist einer der Produktionsfaktoren fix (hier $v_2 = v_2^K$), dann lautet das Problem der Kostenminimierung \[ c(q_1,q_2,x,v_2^K) = \min \left\{ q_1v_1 + q_2v_2^K\ |\ x\leq x(v_1,v_2^K) \right\} \] Da $v_2^K$ unabhängig vom Output $x$ konstant ist, wird $F = q_2 v_2^K$ als fixe Kosten bezeichnet. Die variablen Kosten beziehen sich auf die Produktionsfaktoren, die mit dem Output variieren, $q_1 v_1$. Vernachlässigt man die fixen Kosten, dann ergibt sich die Funktion der variablen Kosten $c_v$ aus \[ c_v(q_1,x,v_2^K) = \min \left\{ q_1v_1\ |\ x \leq x(v_1,v_2^K) \right\} \] Symbolisch wird die Unterscheidung variabler und fixer Kosten deutlicher, wenn man die konstanten Faktorpreise und den fixen Faktor unterdrückt. \[ c(x) = c_v(x) + F \] Aus dem Ertragsgesetz resultiert die folgende Abbildung für die Kostenfunktion und ihre charakteristischen Größen (totale durchschnittliche Kosten, variable durchschnittliche Kosten, durchschnittliche Fixkosten, Grenzkosten).
Abb. Kostenfunktion
Ertragsgesetz (ertragsgesetzlicher Verlauf der Kostenfunktion)
Betriebsminimum
Betriebsoptimum
Gewinnmaximum
Grenzkosten
Faktorvariation, totale