Shephards Lemma
Shephards Lemma (oder auch Shephards Hilfssatz) ist Ausfluss des
Umhüllendensatzes. Shephards Beobachtung
spielt in der Theorie des Haushalt die gleiche Rolle wie in der Theorie der
Unternehmung.
Dualität in der Konsumentscheidung
Sofern man die
Ausgabenfunktion
$e(p_1, p_2, U)$ eines Haushalts kennt, lassen sich die
Hicksschen Funktionen
der Faktornachfrage unmittelbar berechnen
(Beweis).
\[
\abl{e(p_1, p_2, U)}{p_1}\ = x_1^H(p_1, p_2, U)
\quad\text{und}\quad
\abl{e(p_1, p_2, U)}{p_2}\ = x_2^H(p_1, p_2, U)
\]
Da die Ausgabenfunktion linearhomogen in den Preisen ist, müssen die Hicksschen
Funktion nullhomogen in den Preisen sein. (
Beweis)
Dualität in der Theorie der Unternehmung
Ist die
Kostenfunktion $c(q_1, q_2, x)$
eines Einproduktunternehmens bekannt, dann lautet die
Faktornachfrage entsprechend der Minimalkostenkombination
(Beweis):
\[
\abl{c(q_1,q_2, x)}{q_1}\ = v_1^H(q_1, q_2, x)
\quad\text{und}\quad
\abl{c(q_1, q_2, x)}{q_2}\ = v_2^H(q_1, q_2, x)
\]
Da die Kostenfunktion linearhomogen in den Preisen ist, müssen die Funktionen
der Faktornachfrage nullhomogen in den Preisen
sein. (
Beweis)
