$\def\cL{\mathcal{L}}$ $\def\abl#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\d{\textrm{d}}$ $\def\ODER{\quad\text{oder}\quad}$ $\def\MIT{\quad\text{mit}\quad}\def\BIS{,...,}\def\UND{\quad\text{und}\quad}$

Der optimale Verbrauchsplan: Analytische Bestimmung

Kostenminimierung

ökonomisches Prinzip
Restriktion als Ungleichung
Duales Problem
Problem der Minimierung der Faktorkosten q1v1+q2v2 unter der Nebenbedingung eines gegebenen Outputniveaus x, wobei die Nebenbedingung (die Produktionsfunktion) als Gleichung vorliegt. \begin{eqnarray*} &&q_1v_1 + q_2v_2\to \text{Min.}\\ \text{u.d.NB.}\quad &&x = x(v_1,v_2) \\ &&v_1, v_2\geq 0 \end{eqnarray*} Grafische Darstellung der Lösung:
Abb. Minimalkostenkombination
Lagrange-Ansatz \[ \cL(v_1,v_2,\lambda) = q_1v_1 + q_2v_2 + \lambda (x-x(v_1, v_2)) \] Unbekannte: $v_1$, $v_2$, $\lambda=$ Lagrange-Multiplikator
Parameter: $q_1$, $q_2$, $x$ sind zunächst als Konstanten zu behandeln.
Entscheidend: $\cL$ nimmt in Bezug auf $v_1$, $v_2$ das Minimum dort an, wo auch die Zielfunktion minimal ist (und umgekehrt).
  1. Bedingungen 1. Ordnung oder Lagrange-Bedingungen: partielle Ableitungen gleich Null setzen.
    Damit erhält man ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen mit 3 Variablen v1, v2 und λ.
  2. Bedingungen 2. Ordnung (Min. oder Max.): hier nicht berücksichtigt!
Notwendige Bedingungen 1. Ordnung (3 Gleichungen, 3 Variablen) \begin{eqnarray*} \abl{\cL}{v_1} &=& q_1-\lambda^*\abl{x(v_1^*,v_2^*)}{v_1} = 0\\ \abl{\cL}{v_2} &=& q_1-\lambda^*\abl{x(v_1^*,v_2^*)}{v_2} = 0\\ \abl{\cL}{\lambda} &=& x=x(v_1^*,v_2^*) = 0 \quad\text{Nebenbedingung des Problems} \end{eqnarray*} Aus den beiden ersten Gleichungen lässt sich $\lambda^*$ eliminieren \[ \frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{{\partial}x/{\partial}v_2} =\frac{q_1}{q_2} \ODER \frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{q_1}= \frac{{\partial}x/{\partial}v_2}{q_2}= \frac{1}{\lambda^*} \] Die Grenzproduktivitäten verhalten sich wie die Faktorpreise. Oder äquivalent, Gleichheit des Grenzertrags des Geldes $=1/\lambda^*$.
Also liegen 2 Gleichungen mit 2 Variablen (nämlich $v_1^*$, $v_2^*$) vor: \begin{eqnarray*} \text{GRS}&&=\frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{{\partial}x/{\partial}v_2}=-\frac{\d v_2}{\d v_1}=\frac{q_1}{q_2}.\\ x&&=x(v_1^*,v_2^*) \end{eqnarray*} Die erste Gleichung besagt, dass es sich um einen Tangentialpunkt (GRS) handelt, der gemäß der zweiten Bedingung auf der Isoquante liegt.
Aufgrund der Eigenschaften der Nutzenfunktion (abnehmende GRS) und der Zielfunktion (konstante Faktorpreise) liefert das Gleichungssystem Setzt man die optimalen Verbrauchsmengen in die Zielfunktion ein, dann ergibt sich die Kostenfunktion als Lösung des Problems.