Shephards Lemma (Haushaltstheorie)
Startpunkt ist das Problem der
Ausgabenminimierung
unter der Nebenbedingung,
dass mindestens das Nutzenniveau $U$ erreicht werden soll.
\[
e(p_1, p_2, U)=\text{min}\{p_1x_1+p_2x_2|\ U\leq u(x_1,x_2)\}
\]
Die zugehörige Lagrange-Funktion lautet
\[
\cL(x_1,x_2,\lambda) = p_1x_1+p_2x_2+\lambda( U-u(x_1,x_2) )
\]
Im Optimum mit
\[
x_1^*=x_1^H(p_1, p_2, U),\quad
x_2^*=x_2^H(p_1, p_2, U),\quad
\lambda^*=\lambda^H(p_1, p_2, U)
\]
gilt $\cL^*(p_1, p_2, U)=e(p_1, p_2, U)$, wobei
\begin{eqnarray*}
&&\cL^*(p_1, p_2, U)=\cL( x_1^H(p_1, p_2, U), x_2^H(p_1, p_2, U), \lambda^H(p_1, p_2, U) )\\
\text{und}\quad && e(p_1, p_2, U)=p_1 x_1^H(p_1, p_2, U) + p_2 x_2^H(p_1, p_2, U)
\end{eqnarray*}
Nach dem
Umhüllendensatzes trifft
im Optimum $x_1^*$, $x_2^*$, $\lambda^*$ die folgende Aussage zu:
\[
\abl{\cL}{p_j}=\abl{\cL^*}{p_j}=\abl{e}{p_j}=x_j^*=x_j^H(p_1, p_2, U)
\quad\text{mit}\ \ j=1,2
\]
Der Vorteil, auf diese Art die Güternachfrage zu berechnen, liegt auf der
Hand, denn bei der Berechnung von
\[
\abl{\cL( x_1^H(p_1, p_2, U), x_2^H(p_1, p_2, U), \lambda^H(p_1, p_2, U) )}{p_j}
\]
dürfen sämtliche Nachableitungen vernachlässigt werden.
