$\def\abl#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\d{\textrm{d}}$ $\def\cL{\mathcal{L}}$

Shephards Lemma (Theorie der Unternehmung)

Startpunkt ist das Problem der Kostenminimierung unter der Nebenbedingung, dass mindestens der Output $x$ produziert werden muss. \[ c(q_1, q_2, x)=\text{min}\{ q_1v_1+q_2v_2 |\ x\leq x(v_1, v_2) \} \] Die zugehörige Lagrange-Funktion lautet \[ \cL(v_1, v_2, \lambda) = q_1v_1+q_2v_2+\lambda( x-x(v_1, v_2) ) \] Im Optimum mit \[ v_1^*=v_1^H(q_1, q_2, x),\quad v_2^*=v_2^H(q_1, q_2, x),\quad \lambda^*=\lambda^H(q_1, q_2, x) \] gilt $\cL^*(q_1, q_2, x)=c(q_1, q_2, x)$, wobei \begin{eqnarray*} &&\cL^*(q_1, q_2, x)=\cL( v_1^H(q_1, q_2, x), v_2^H(q_1, q_2, x), \lambda^H(q_1, q_2, x) )\\ \quad\text{und}\quad && c(q_1, q_2, x)=q_1 v_1^H(q_1, q_2, x) + q_2 v_2^H(q_1, q_2, x) \end{eqnarray*} Der Umhüllendensatz besagt, dass im Optimum $v_1^*$, $v_2^*$, $\lambda^*$ die folgende Aussage zutrifft: \[ \abl{\cL}{q_i}=\abl{\cL^*}{q_i}=\abl{c}{q_i}=v_i^*=v_i^H(q_1, q_2, x) \quad\text{mit}\quad i=1,2 \] Der Vorteil, auf diese Art die Faktornachfrage zu berechnen, liegt auf der Hand, denn bei der Berechnung von \[ \abl{\cL( v_1^H(q_1, q_2, x), v_2^H(q_1, q_2, x), \lambda^H(q_1, q_2, x) )}{q_i} \] dürfen sämtliche Nachableitungen vernachlässigt werden.