Shephards Lemma (Theorie der Unternehmung)
Startpunkt ist das Problem der
Kostenminimierung
unter der Nebenbedingung, dass mindestens der Output $x$ produziert werden
muss.
\[
c(q_1, q_2, x)=\text{min}\{ q_1v_1+q_2v_2 |\ x\leq x(v_1, v_2) \}
\]
Die zugehörige Lagrange-Funktion lautet
\[
\cL(v_1, v_2, \lambda) = q_1v_1+q_2v_2+\lambda( x-x(v_1, v_2) )
\]
Im Optimum mit
\[
v_1^*=v_1^H(q_1, q_2, x),\quad
v_2^*=v_2^H(q_1, q_2, x),\quad
\lambda^*=\lambda^H(q_1, q_2, x)
\]
gilt $\cL^*(q_1, q_2, x)=c(q_1, q_2, x)$, wobei
\begin{eqnarray*}
&&\cL^*(q_1, q_2, x)=\cL( v_1^H(q_1, q_2, x), v_2^H(q_1, q_2, x), \lambda^H(q_1, q_2, x) )\\
\quad\text{und}\quad && c(q_1, q_2, x)=q_1 v_1^H(q_1, q_2, x) + q_2 v_2^H(q_1, q_2, x)
\end{eqnarray*}
Der
Umhüllendensatz besagt, dass
im Optimum $v_1^*$, $v_2^*$, $\lambda^*$ die folgende Aussage zutrifft:
\[
\abl{\cL}{q_i}=\abl{\cL^*}{q_i}=\abl{c}{q_i}=v_i^*=v_i^H(q_1, q_2, x)
\quad\text{mit}\quad i=1,2
\]
Der Vorteil, auf diese Art die Faktornachfrage zu berechnen, liegt auf der
Hand, denn bei der Berechnung von
\[
\abl{\cL( v_1^H(q_1, q_2, x), v_2^H(q_1, q_2, x), \lambda^H(q_1, q_2, x) )}{q_i}
\]
dürfen sämtliche Nachableitungen vernachlässigt werden.
