Gewinnmaximierung
Im Fall der Einproduktunternehmung mit der
Produktionsfunktion
\[x=x(v_1, v_2)\]
lautet die
Gewinnfunktion bei vollständiger Konkurrenz
\[
\pi(q_1, q_2, p)= \max_{x,v_1,v_2} \left\{ p x - q_1v_1 - q_2v_2\ |\ x=x(v_1, v_2)\right\}
\]
Je nachdem wie die Nebenbedingung berücksichtigt wird, sind zwei Fälle zu
unterscheiden:
Inputseite
Die Produktionsfunktion wird im Erlös $px$ berücksichtigt.
\[
\pi(q_1, q_2, p)= \max_{v_1,v_2} \left\{ px(v_1, v_2) - q_1v_1 - q_2v_2\right\}
\]
Eine notwendige Bedingung für ein Gewinnmaximum verlangt, dass die Faktoren
entsprechend ihrer monetären Grenzproduktivität entlohnt werden.
\[
p\abl{x(v_1,v_2)}{v_i}=q_i\qquad i=1,2
\]
Heuristisch lässt sich diese Gleichung auch wie folgt interpretieren
\[
p=\frac{\d v_1 \cdot q_1}{\d x}=\frac{\d v_2 \cdot q_2}{\d x}
\]
Demnach müssen die Faktorgrenzkosten aller Produktionsfaktoren
übereinstimmen.
Erlösfunktion
Outputseite
Die Produktionsfunktion wird bei den Faktorkosten $q_1v_1+q_2v_2$
berücksichtigt. Das Ergebnis spiegelt sich in der
Kostenfunktion $c(q_1,q_2,x)$ wider.
\[
\pi(q_1, q_2, p)= \text{max} \{ px - c(q_1,q_2,x) \}
\]
Eine notwendige Bedingung für ein Gewinnmaximum verlangt, dass der
Güterpreis mit den Grenzkosten übereinstimmt.
\[
p=\abl{c(q_1,q_2,x)}{x}
\]
