Der optimale Verbrauchsplan: Analytische Bestimmung
Ausgabenminimierung
ökonomisches Prinzip
Restriktion als Ungleichung
duales Problem
Nutzenfunktion
Problem der Minimierung der Ausgaben $p_1x_1+p_2x_2$
unter der Nebenbedingung eines gegebenen Nutzenniveaus $U$, wobei die
Nebenbedingung als Gleichung vorliegt.
\begin{eqnarray*}
&&p_1x_1 + p_2x_2\to \text{Min.}\\
\text{u.d.NB.}\quad &&U = u(x_1,x_2) \quad\text{Nutzenfunktion}\\
&& x_1, x_2\geq 0
\end{eqnarray*}
Grafische Darstellung der Lösung:
Lagrange-Ansatz
\[
\cL(x_1,x_2,\lambda) = p_1x_1 + p_2x_2 + \lambda (U-u(x_1, x_2) )
\]
Unbekannte: $x_1$, $x_2$, $\lambda=$ Lagrange-Multiplikator
Parameter: $p_1$, $p_2$, $U$ sind zunächst als Konstante zu behandeln.
Entscheidend: $\cL$ nimmt in Bezug auf $x_1$, $x_2$ das Minimum dort an, wo
auch die Zielfunktion minimal ist (und umgekehrt).
- Bedingungen 1. Ordnung oder Lagrange-Bedingungen: partielle Ableitungen
gleich Null setzen.
Damit erhält man ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen mit 3 Variablen
$x_1$, $x_2$ und $\lambda$.
- Bedingungen 2. Ordnung (Min. oder Max.): hier nicht berücksichtigt!
Notwendige Bedingungen 1. Ordnung (3 Gleichungen, 3 Variablen)
\begin{eqnarray*}
\abl{\cL}{x_1} &\ =\ & p_1-\lambda^*\ \abl{u(x_1^*,x_2^*)}{x_1} \ =\ 0\\
\abl{\cL}{x_2} &\ =\ & p_1-\lambda^*\ \abl{u(x_1^*,x_2^*)}{x_2} \ =\ 0\\
\abl{\cL}{\lambda} &\ =\ & U = u(x_1^*,x_2^*) = 0
\quad\text{Nebenbedingung des Problems}
\end{eqnarray*}
Aus den beiden ersten Gleichungen lässt sich λ
* eliminieren
Aus den beiden ersten Gleichungen lässt sich $\lambda^*$ eliminieren
\[
\frac{{\partial}u/{\partial}x_1}{{\partial}u/{\partial}x_2}\ =\ \frac{p_1}{p_2}
\quad\text{oder}\quad
\frac{{\partial}u/{\partial}x_1}{p_1}\ =\
\frac{{\partial}u/{\partial}x_2}{p_2}\ =\
\frac{1}{\lambda^*}
\]
Die Grenznutzen verhalten sich wie die Güterpreise. Oder äquivalent,
Gleichheit der
Grenznutzen des Geldes $= 1/\lambda^*$.
Also liegen 2 Gleichungen mit 2 Variablen (nämlich $x_1^*$ ,$x_2^*$) vor:
\begin{eqnarray*}
\text{Tangentialpunkt}\ \
&&\text{GRS}\ =\ \frac{{\partial}u/{\partial}x_1}{{\partial}u/{\partial}x_2}\
=\ -\frac{\d x_2}{\d x_1}\ =\ \frac{p_1}{p_2}.\\
\text{auf der Indifferenzkurve}\ \
&&U = u(x_1^*,x_2^*)
\end{eqnarray*}
Aufgrund der Eigenschaften der Nutzenfunktion
(abnehmende GRS) und
der Bilanzgleichung (konstante Preise) liefert das
Gleichungssystem
Setzt man die optimalen Verbrauchsmengen in die Zielfunktion ein, dann ergibt
sich die
Ausgabenfunktion
als Lösung des Problems.
