$\def\cL{\mathcal{L}}$ $\def\ODER{\quad\text{oder}\quad}$ $\def\MIT{\quad\text{mit}\quad}\def\BIS{,...,}\def\UND{\quad\text{und}\quad}$ $\def\abl#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\d{\textrm{d}}$

Der optimale Verbrauchsplan: Analytische Bestimmung

Kostenminimierung

ökonomisches Prinzip
Duales Problem
Problem der Minimierung der Kosten $q_1v_1+q_2v_2$ unter der Nebenbedingung (Produktionsfunktion), dass mindestens das Outputniveau x realisiert werden soll (Nebenbedingung als Ungleichung). \begin{eqnarray*} &&q_1v_1 + q_2v_2\to \text{Min.}\\ \text{u.d.NB.}\quad &&x\leq x(v_1,v_2) \\ &&v_1, v_2\geq 0 \end{eqnarray*} Grafische Darstellung der Lösung:
Abb. Minimalkostenkombination
Lagrange-Ansatz: Da es sich um ein Minimierungsproblem handelt, wird die Nebenbedingung zu $x-x(v_1,v_2)\leq 0$ umgestellt. Der Sinn wird in den nachstehenden Kuhn-Tucker-Bedingungen deutlich. \[ \cL(v_1,v_2,\lambda) = q_1v_1 + q_2v_2 + \lambda (x-x(v_1, v_2)) \] Unbekannte: $v_1$, $v_2$, $\lambda=$ Lagrange-Multiplikator
Parameter: $q_1$, $q_2$, $x$ sind zunächst als Konstante zu behandeln.
Entscheidend: $\cL$ nimmt in Bezug auf $v_1$, $v_2$ das Minimum dort an, wo auch die Zielfunktion minimal ist (und umgekehrt).
Kuhn-Tucker-Bedingungen: Notwendige Bedingungen 1. Ordnung (3 Gleichungen, 3 Variablen) \begin{eqnarray*} \abl{\cL}{v_1} &\geq 0, && v_1^*\geq 0, && \abl{\cL}{v_1} v_1^*=0,\\ \abl{\cL}{v_2} &\geq 0, && v_2^*\geq 0, && \abl{\cL}{v_2} v_2^*=0,\\ \abl{\cL}{\lambda} &\leq0, && \lambda^*\geq0, && \abl{\cL}{\lambda}\lambda^*=0 \end{eqnarray*} Unterstellt man eine innere Lösung, also $v_1^*>0$ und $v_2^*>0$, dann muss \begin{eqnarray*} \abl{\cL}{v_1} &= q_1-\lambda^*\abl{x(v_1^*,v_2^*)}{v_1} = 0\\ \abl{\cL}{v_2} &= q_2-\lambda^*\abl{x(v_1^*,v_2^*)}{v_2} = 0 \end{eqnarray*} erfüllt sein. Nun lässt sich $\lambda^*$ eliminieren \[ \frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{{\partial}x/{\partial}v_2} =\frac{q_1}{q_2} \ODER \frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{q_1}= \frac{{\partial}x/{\partial}v_2}{q_2}=\frac{1}{\lambda^*} \] Folglich muss bei positiven Grenzproduktivitäten auch $\lambda^*>0$ gelten, so dass \[ \abl{\cL}{\lambda} = x-x(v_1^*, v_2^*)=0 \] Fazit: Bei positiven Gütermengen, verhalten sich die Grenzproduktivitäten wie die Faktorpreise. Oder äquivalent, Gleichheit des Grenzertrags des Geldes $= 1/\lambda^*$.
Nachdem $\lambda^*$ eliminiert worden ist, liegen 2 Gleichungen mit 2 Variablen (nämlich $v_1^*$ ,$v_2^*$) vor: \begin{eqnarray*} \text{GRS}=\frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{{\partial}x/{\partial}v_2}&&=-\frac{\d v_2}{\d v_1}=\frac{q_1}{q_2}.\\ x&&=x(v_1^*,v_2^*) \end{eqnarray*} Die zweite Bedingung beschreibt einen Punkt auf der Isoquante. Gemäß der ersten Bedingung tangieren sich Kostengerade und Isoquante. Die Steigung der Isoquante ist die GRS.
Beachte: Mit den Kuhn-Tucker-Bedingungen werden auch Ecklösungen erfasst, in denen entweder $v_1^*=0$ oder $v_2^*=0$ gilt. In diesem Fall liegt keine Tangentiallösung mehr vor.
Aufgrund der Eigenschaften der Nutzenfunktion (abnehmende GRS) und der Zielfunktion (konstante Güterpreise) liefert das Gleichungssystem Setzt man die Nachfragefunktionen in die Zielfunktion ein, dann ergibt sich die Kostenfunktion \[ c(q_1,q_2,x)=q_1 v_1^H(q_1,q_2,x)+q_2v_2^H(q_1,q_2,x) \] als Lösung des Problems.