Duale Probleme der Outputmaximierung
Kostenminimierung der Faktorkosten Angenommen, man kennt die Kostenfunktion $c(\vq,x)$, die auf der Basis einer Produktionsfunktion $x(\vv)$ hergeleitet worden. \[ c(\vq, x) = \min_{\vv\geqq\vO} \left\{ \vq\T\vv\ |\ x\leq x(\vv) \right\} \] Kennt man nur $c(\vq,x)$, dann stellt sich die Frage, was man implizit über die Produktionsfunktion $x$ weiß. Mit Hilfe der Dualitätstheorie lässt sich die Produktionsfunktion aus der Kostenunktion (bei gewissen Regularitätsbedingungen) zurückgewinnen. Das entsprechende duale Problem basiert auf unendlich vielen Restriktionen für die Preise $\vq$: \[ x(\vv) = \max \left\{ x\ |\ c(\vq, x)\leq \vq\T\vv\quad \forall\ \vq\geq\vO \right\} \] Um sich vorstellen zu können, wie das Problem "arbeitet", stelle man sich einen Ball vor. Dieser Ball wird nun durch sämtliche ihn tangierenden Ebenen (genauer alle Halbräume, die den Ball enthalten) beschrieben. Das Konstruktionsprinzip lässt sich graphisch veranschaulichen, wenn man sich bei der gewonnenen Produktionsfunktion $x$ auf ein Outputniveau $\bar x$ konzentriert. Aus den unendliche vielen Restriktionen sind hier nur die interessant, die die Isoquante $\bar x$ tangieren.