Der optimale Verbrauchsplan: Analytische Bestimmung
Outputmaximierung
ökonomisches Prinzip Problem der Maximierung einer Produktionsfunktion $x(v_1,v_2)$ unter der Nebenbedingung, dass die Faktorkosten den gegebenen Betrag $c$ nicht übersteigen dürfen (Nebenbedingung als Ungleichung). \begin{eqnarray*} &&x(v_1,v_2) \to \text{Max.}\\ \text{u.d.NB.}\quad &&q_1v_1 + q_2v_2 \leq c\\ && v_1, v_2\geq 0 \end{eqnarray*} Grafische Darstellung der Lösung:
Parameter: $q_1$, $q_2$, $c$ sind zunächst als Konstante zu behandeln. Entscheidend: $\cL$ nimmt in Bezug auf $v_1$, $v_2$ das Maximum dort an, wo auch die Zielfunktion $x$ maximal ist (und umgekehrt). Kuhn-Tucker-Bedingungen: Notwendige Bedingungen 1. Ordnung (3 Gleichungen, 3 Variablen) \begin{eqnarray*} \abl{\cL}{v_1} &\leq 0, &\ \ & v_1^*\geq 0, &\ \ & \abl{\cL}{v_1} v_1^*=0,\\ \abl{\cL}{v_2} &\leq 0, && v_2^*\geq 0, && \abl{\cL}{v_2} v_2^*=0,\\ \abl{\cL}{\lambda} &\geq0, && \lambda^*\geq0, && \abl{\cL}{\lambda}\lambda^*=0 \end{eqnarray*} Unterstellt man eine innere Lösung, also $v_1^*>0$ und $v_2^*>0$, dann muss \begin{eqnarray*} \abl{\cL}{v_1} &= \abl{x(v_1^*,v_2^*)}{v_1} - \lambda^* q_1 = 0\\ \abl{\cL}{v_2} &= \abl{x(v_1^*,v_2^*)}{v_2} - \lambda^* q_2 = 0 \end{eqnarray*} erfüllt sein. Nun lässt sich $\lambda^*$ eliminieren \[ \frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{{\partial}x/{\partial}v_2} =\frac{q_1}{q_2} \quad\text{oder}\quad \frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{q_1}= \frac{{\partial}x/{\partial}v_2}{q_2}=\lambda^* \] Folglich muss bei positiven Grenznutzen auch $\lambda^*>0$ gelten, so dass \[ \abl{\cL}{\lambda} = c - q_1v_1^* - q_2v_2^* = 0 \] Fazit: Bei positiven Faktormengen, verhalten sich die Grenzproduktivitäten sich wie die Faktorpreise. Oder äquivalent, Gleichheit des Grenzerträge des Geldes $= \lambda^*$. Nachdem $\lambda^*$ eliminiert worden ist, liegen 2 Gleichungen mit 2 Variablen (nämlich $v_1^*$ ,$v_2^*$) vor: \begin{eqnarray*} \text{Tangentialpunkt}\ \ &\text{GRS}=\frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{{\partial}x/{\partial}v_2}=-\frac{\d v_2}{\d v_1}=\frac{q_1}{q_2}.\\ \text{auf der Budgetgleichung}\ \ &c = q_1v_1^*+q_2v_2^* \end{eqnarray*} Beachte: Mit den Kuhn-Tucker-Bedingungen werden auch Ecklösungen erfasst, in denen entweder $v_1^*=0$ oder $v_2^*=0$ gilt. In diesem Fall liegt keine Tangentiallösung mehr vor. Aufgrund der Eigenschaften der Produktionsfunktion (vgl. GRS) und der Kostengerade (konstante Faktorpreise) liefert das Gleichungssystem
- die optimalen Faktormengen (Maximalproduktkombination) oder auch die Faktornachfragefunktionen \[ v_1^*=v_1^M(q_1,q_2,c) \quad\text{und}\quad v_2^*=v_2^M(q_1,q_2,c) \]
- den optimalen Wert des Lagrange-Multiplikators $\lambda^*=\lambda(q_1,q_2,c)$. (ökonomische Interpretation)