Wolds Theorem (Beweis)
Falls die Nutzenfunktion
u(
x) über die (normierte)
indirekte Nutzenfunktion $\tilde
v(\tilde\vp)$ mit $\tilde\vp=\vp/y$ ermittelt wird (vgl.
hier), d.h.
\[
u(\vx) = \min_{\tilde\vp} \left\{ v(\tilde\vp)\ |\ \tilde\vp\T\vx\leq 1\right\}
\]
dann lautet die zugehörige Lagrange-Funktion
\[
\cL(\tilde\vp, \lambda) = v(\tilde\vp) + \lambda\ (\tilde\vp\T\vx\ - 1).
\]
Im Optimum mit $\tilde\vp^*=\vp^W(\vx)$ und $\lambda^*=\lambda(\vx)$ gilt für die
Nutzenfunktion u(
x)
(optimum value function):
\[
u(\vx)=\cL( \tilde\vp^*, \lambda^* ) = v( \vp^W(\vx) )
+ \lambda(\vx) \left[ \vp^W(\vx)\T\vx\ - 1 \right].
\]
Der
Umhüllenden-Satz besagt
\[
\abl{\cL(\tilde\vp^*, \lambda^*)}{x_j}
=\abl{u(\vx)}{x_j}
= - \lambda(\vx) p_j^W(\vx), \qquad j=1,\ldots,n
\]
Summiert man diese Gleichungen nach Multiplikation mit $x_j$, so folgt
\[
\sum_j \abl{u(\vx)}{x_j} x_j
= \sum_j - \lambda(\vx) p_j^W(\vx) x_j
= - \lambda(\vx) \sum_j \tilde p_j^* x_j = - \lambda(\vx)
\]
Damit egeben sich die Woldschen Preise als
\[
p_j^W(\vx)=\frac{\abl{u(\vx)}{x_j}}
{\sum_k\abl{u(\vx)}{x_k} x_k}\qquad j=1,...,n
\]
