Duale Probleme der Nutzenmaximierung
Ausgangspunkt ist das Problem der Nutzenmaximierung
(Details)
mit positiven Güterpreisen $\vp>\vO$.
\[
v(\vp, y) = \max_{\vx\geqq\vO} \left\{ u(\vx)\ |\ \vp\T\vx\leq y\right\}
\]
Da die indirekte Nutzenfunktion $v$ als Lösung des Problems homogen vom Grade
null in den Preisen $\vp$ und dem Einkommen $y$ ist, darf man auf normierte
Preise $\tilde\vp=\vp/y$ übergehen:
\[
\tilde v(\tilde\vp) = \max_{\vx\geqq\vO} \left\{ u(\vx)\ |\ \tilde\vp\T\vx\leq 1\right\}
\]
Ist nur die indirekte Nutzenfunktion $\tilde v$ bekannt, so lässt durch die
ursprüngliche Nutzenfunktion $u$ durch folgende Minimierungsproblem nun für
positive Konsummengen $\vx>\vO$ wiederherstellen.
\[
u(\vx) = \min_{\tilde\vp\geqq\vO} \left\{ \tilde v(\tilde\vp)\ |\ \tilde\vp\T\vx\leq 1\right\}
\]
