Slutzky-Zerlegung
Yevgeni Slutzky
Dualität in der Konsumentscheidung
Im Haushaltsoptimum stimmen die Hicksschen und die Marshallschen Mengen
überein
\[
x_j^*=x_j^H(\vp, U)=x_j^M(\vp, y) \quad\text{mit}\quad j=1,...,n
\]
Grafische Darstellung des Haushaltsoptimums.
Die Effekte einer Änderung der Preises $p_k$ ergeben sich aus
\[
\abl{x_j^H(\vp, U)}{p_k}=\abl{x_j^M(\vp, y)}{p_k}+\abl{x_j^M(\vp, y)}{y}
\abl{e(\vp, U)}{p_k}
\quad\text{mit}\quad j, k =1,..., n
\]
Unter Berücksichtigung von
Shephards Lemma
\[
\abl{e(\vp, U)}{p_j}=x_j^*\quad\text{mit}\quad j=1,...,n
\]
resultiert die
Slutzky-Gleichung (hier für den Spezialfall
mit $j=k$)
\[
\abl{x_j^M(\vp, y)}{p_j}=\abl{x_j^H(\vp, U)}{p_j} - \abl{x_j^M(\vp, y)}{y} x_j^H(\vp, U)
\quad\text{mit}\quad j=1,...,n
\]
Für ein normales Gut ist $\partial x_j^M /\partial y >0$, so dass
\[
\abl{x_j^M(\vp, y)}{p_j}<\abl{x_j^H(\vp, U)}{p_j}
\quad\text{mit}\quad j=1,...,n
\]
grafische Analyse
(Substitutions- und Einkommenseffekt)
Dualität in der Theorie der Unternehmung
Im Optimum stimmt die Minimalkostenkombination mit der
Maximalproduktkombination überein,
\[
v_i^*=v_i^H(\vq, x)=v_i^M(\vq, c) \quad\text{mit}\quad i=1,...,m
\]
Grafische Darstellung
Die Effekte einer Änderung der Preises $q_k$ ergeben sich aus
\[
\abl{v_i^H(\vq, x)}{q_k}=\abl{v_i^M(\vq, c)}{q_k}+\abl{v_i^M(\vq, c)}{c}
\abl{c(\vq, x)}{q_k}
\quad\text{mit}\quad i, k =1,...,m
\]
Unter Berücksichtigung von
Shephards Lemma
\[
\abl{c(\vq, x)}{q_i}=v_i^*\quad\text{mit}\quad i=1,...,m
\]
resultiert die
Slutzky-Gleichung (hier für den Spezialfall
mit $i=k$)
\[
\abl{v_i^M(\vq, c)}{q_i}=\abl{v_i^H(\vq, x)}{q_i} - \abl{v_i^M(\vq, c)}{c} v_i^H(\vq, x)
\quad\text{mit}\quad i=1,...,m
\]
