$\def\abl#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}$ $\def\vq{\textbf{q}}\def\vp{\textbf{p}}\def\vO{\textbf{0}}$

Slutzky-Zerlegung

Yevgeni Slutzky
Dualität in der Konsumentscheidung
Im Haushaltsoptimum stimmen die Hicksschen und die Marshallschen Mengen überein \[ x_j^*=x_j^H(\vp, U)=x_j^M(\vp, y) \quad\text{mit}\quad j=1,...,n \] Grafische Darstellung des Haushaltsoptimums.
Die Effekte einer Änderung der Preises $p_k$ ergeben sich aus \[ \abl{x_j^H(\vp, U)}{p_k}=\abl{x_j^M(\vp, y)}{p_k}+\abl{x_j^M(\vp, y)}{y} \abl{e(\vp, U)}{p_k} \quad\text{mit}\quad j, k =1,..., n \] Unter Berücksichtigung von Shephards Lemma \[ \abl{e(\vp, U)}{p_j}=x_j^*\quad\text{mit}\quad j=1,...,n \] resultiert die Slutzky-Gleichung (hier für den Spezialfall mit $j=k$) \[ \abl{x_j^M(\vp, y)}{p_j}=\abl{x_j^H(\vp, U)}{p_j} - \abl{x_j^M(\vp, y)}{y} x_j^H(\vp, U) \quad\text{mit}\quad j=1,...,n \] Für ein normales Gut ist $\partial x_j^M /\partial y >0$, so dass \[ \abl{x_j^M(\vp, y)}{p_j}<\abl{x_j^H(\vp, U)}{p_j} \quad\text{mit}\quad j=1,...,n \]
grafische Analyse (Substitutions- und Einkommenseffekt)
Dualität in der Theorie der Unternehmung
Im Optimum stimmt die Minimalkostenkombination mit der Maximalproduktkombination überein, \[ v_i^*=v_i^H(\vq, x)=v_i^M(\vq, c) \quad\text{mit}\quad i=1,...,m \] Grafische Darstellung
Die Effekte einer Änderung der Preises $q_k$ ergeben sich aus \[ \abl{v_i^H(\vq, x)}{q_k}=\abl{v_i^M(\vq, c)}{q_k}+\abl{v_i^M(\vq, c)}{c} \abl{c(\vq, x)}{q_k} \quad\text{mit}\quad i, k =1,...,m \] Unter Berücksichtigung von Shephards Lemma \[ \abl{c(\vq, x)}{q_i}=v_i^*\quad\text{mit}\quad i=1,...,m \] resultiert die Slutzky-Gleichung (hier für den Spezialfall mit $i=k$) \[ \abl{v_i^M(\vq, c)}{q_i}=\abl{v_i^H(\vq, x)}{q_i} - \abl{v_i^M(\vq, c)}{c} v_i^H(\vq, x) \quad\text{mit}\quad i=1,...,m \]