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\def\abl#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\d{\textrm{d}}

Satz der impliziten Differentiation

Totales Differential einer impliziten Funktion f(x_1,x_2,y) = 0 0 =\ \abl{f(x_1,x_2,y)}{x_1}\ \d x_1 + \abl{f(x_1,x_2,y)}{x_2}\ \d x_2 +\ \abl{f(x_1,x_2,y)}{y}\ \d y
Abb. Totales Differential
Falls y konstant ist (\d y = 0), dann folgt \frac{\d x_2}{\d x_1}\ = -\ \frac{\abl{f(x_1,x_2,y)}{x_1}}{\abl{f(x_1,x_2,y)}{x_2}} Da y unverändert bleibt, bewegt man sich auf der entsprechenden Niveaulinie. Die Steigung dieser Niveaulinie \d x_1/\d x_2 lässt sich über die implizite Differentiation ermitteln. Bitte beachten Sie das Minuszeichen!
Beispiele:
  1. Die Grenzrate der Substitution (GRS) zwischen zwei Konsumgütern entspricht der Steigung einer Indifferenzkurve.
    Berechnung der GRS
  2. Die Grenzrate der intertemporalen Subsitution (GRiS) bezeichnet die Steigung einer Indifferenzkurve zur intertemporalen Nutzenfunktion U = u(e_t,e_{t+1}).
    Berechnung der GRiS
  3. Die Grenzrate der technischen Subsitution (GRS) zwischen zwei Produktionsfaktoren entspricht der Steigung einer Isoquante.
    Berechnung der GRS