$\def\abl#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\d{\textrm{d}}$

Shephards Lemma

Shephards Lemma (oder auch Shephards Hilfssatz) ist Ausfluss des Umhüllendensatzes. Shephards Beobachtung spielt in der Theorie des Haushalt die gleiche Rolle wie in der Theorie der Unternehmung.
Dualität in der Konsumentscheidung
Sofern man die Ausgabenfunktion $e(p_1, p_2, U)$ eines Haushalts kennt, lassen sich die Hicksschen Funktionen der Faktornachfrage unmittelbar berechnen (Beweis). \[ \abl{e(p_1, p_2, U)}{p_1}\ = x_1^H(p_1, p_2, U) \quad\text{und}\quad \abl{e(p_1, p_2, U)}{p_2}\ = x_2^H(p_1, p_2, U) \] Da die Ausgabenfunktion linearhomogen in den Preisen ist, müssen die Hicksschen Funktion nullhomogen in den Preisen sein. (Beweis)
Dualität in der Theorie der Unternehmung
Ist die Kostenfunktion $c(q_1, q_2, x)$ eines Einproduktunternehmens bekannt, dann lautet die Faktornachfrage entsprechend der Minimalkostenkombination (Beweis): \[ \abl{c(q_1,q_2, x)}{q_1}\ = v_1^H(q_1, q_2, x) \quad\text{und}\quad \abl{c(q_1, q_2, x)}{q_2}\ = v_2^H(q_1, q_2, x) \] Da die Kostenfunktion linearhomogen in den Preisen ist, müssen die Funktionen der Faktornachfrage nullhomogen in den Preisen sein. (Beweis)