Duale Probleme der Outputmaximierung
noch kein Text Maximierung des Outputs $x$, ohne dass die Faktorkosten bei nichtnegativen Faktormengen $\vv$ die obere Schranke $c$ überschreiten. \[ z(\vq, c) = \max_{\vv\geq\vO} \left\{ x(\vv)\ |\ \vq\T\vv\leq c\right\} \] Da die indirekte Produktionsfunktion $z$ als Lösung des Problems homogen vom Grade null in den Preisen $\vq$ und den Kosten $c$ ist, darf man auf normierte Preise $\tilde \vq=\vq/c$ übergehen: \[ \tilde z(\tilde\vq) = \max_{\vv\geq \vO} \left\{ x(\vv)\ |\ \tilde\vq\T\vv\leq 1\right\} \] Die Lösung des Maximierungsporblems $\tilde z$ wird als (normierte) indirekte Produktionsfunktion bezeichnet. Die direkte Produktionsfunktion $x$ lässt sich zurückgewinnen, indem man die indirekte Produktionsfunktion $\tilde z$ über die nichtnegativen Faktorpreise $\tilde\vq$ minimiert, wobei die normierten Faktorkosten den Wert 1 nicht überschreiten dürfen. \[ x(\vv) = \min_{\tilde\vq\geq\vO} \left\{ \tilde z(\tilde\vq)\ |\ \tilde\vq\T\vv\leq 1\right\} \] (direkte) Produktionsfunktion $x = x(\vv)$indirekte Produktionsfunktion $\tilde z = \tilde z(\tilde \vq)$