Wolds Theorem (Anmerkung)
Der
Woldsche Preis
\[
p_j^W(\vx)=\frac{\abl{u(\vx)}{x_j}}
{\sum_{k=1}^n\abl{u(\vx)}{x_k} x_k}\qquad j=1,...,n
\]
entspricht dem normierten Güterpreis
\[
p_j^W(\vx)=\frac{p_j}{y}.
\]
Für den Beweis ist zu beachten, dass die Grenzrate der Substitution im
Haushaltsoptimum mit dem Güterpreisverhältnis
übereinstimmt.
\[
\frac{\partial u / \partial x_k}{\partial u / \partial x_j}=\frac{p_k}{p_j}
\]
Damit folgt für $j=1,...,n$
\[
p_j^W(\vx)=\frac{1}{\sum_k\frac{p_k}{p_j} x_k}=
\frac{p_j}{\sum_k p_k x_k}=\frac{p_j}{y}
\]
