$\def\d{\textrm{d}}$

Niveauproduktionsfunktion

Ausgangspunkt ist eine gegebene Produktionsaktivität $x^K$, $v_1^K$ ,..., $v_m^K$ mit \[ x^K=x(v_1^K,...,v_m^K) \] Diese Aktivität entspricht dem Produktionsniveau $\lambda=1$. Wird nun das Produktionsniveau $\lambda$ erhöht, d.h. \[ (v_1^K,...,v_n^K) \to (\lambda v_1^K,...,\lambda v_m^K), \] dann stellt sich die Frage, wie der Output $x^K$ reagiert. Damit liegt es nahe, die Niveauproduktionsfunktion $x$ als Funktion von $\lambda$ zu definieren.
Falls die Produktionsfunktion homogen vom Grade $r$ ist, dann steigt der Output $x$ um das $\lambda^r$-fache. \[ \lambda^r x^K=\lambda^r x(v_1^K,...,v_n^K)=x(\lambda v_1^K,...,\lambda v_m^K) \] Die Niveauproduktionsfunktion lautet in diesem Fall \[ x(\lambda)=\lambda^r x^K. \]
Abb. Niveauproduktionsfunktion
Die Niveauleastizität gibt an, wie sich der Output prozentual ändert, wenn das Produktionsniveau λ um einen bestimmten Prozentsatz verändert wird. \[ \eta_{x \lambda}=\frac{\d x /x}{\d \lambda /\lambda} =\frac{\d x}{\d \lambda} \frac{\lambda}{x} \] Ist die Produktionsfunktion homogen vom Grade $r$, dann stimmt die Niveauleastizität mit dem Homogenitätsgrad überein: \[ \eta_{x \lambda}=r \] Beweis \[ \eta_{x \lambda} =\frac{\d x}{\d \lambda} \frac{\lambda}{x} =r \lambda^{r-1}x^K \frac{\lambda}{\lambda^r x^K}=r \] Das Wicksell-Johnson-Theorem besagt, dass die Niveauelastizität $\eta_{x\lambda}$ generell mit der Summe der Faktorelastizitäten übereinstimmt.
Skalenerträge