$\def\abl#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\d{\textrm{d}}$ $\def\MIT{\quad\text{mit}\quad}\def\BIS{,...,}\def\UND{\quad\text{und}\quad}$

Wicksell-Johnson-Theorem

Ausgangspunkt ist die Niveauproduktionsfunktion \[ x(\lambda) = f(\lambda v_1^*, \lambda v_2^*), \] wobei v1* und v2* konstant sind und das Einheitsniveau mit λ = 1 determinieren. Setzt man \[ v_1=\lambda v_1^* \UND v_2=\lambda v_2^*, \] dann folgt \[ \frac{\d x}{\d \lambda} \frac{\lambda}{x} =\left(\abl{f}{v_1} \frac{\d v_1}{\d \lambda}+\abl{f}{v_2} \frac{\d v_2}{\d \lambda}\right)\frac{\lambda}{x}. \] Unter Berücksichtigung von \[ \frac{\d v_i}{\d \lambda} \frac{\lambda}{x} = \frac{\lambda v_i^*}{x} = \frac{v_i}{x} \MIT i=1,2 \] erhält man das sogenannte Wicksell-Johnson Theorem \[ \frac{\d x}{\d \lambda} \frac{\lambda}{x} = \abl{f}{v_1}\frac{v_1}{x} + \abl{f}{v_2}\frac{v_2}{x} \] Die Niveauelastizität stimmt mit der Summe der Faktorelastizitäten überein.
Ist die Niveauproduktionsfunktion homogen vom Grade r, dann gilt darüber hinaus (Beweis) \[ \frac{\d x}{\d \lambda} \frac{\lambda}{x} = r. \] Die alternative Schreibweise \[ r x = \abl{f}{v_1} v_1 + \abl{f}{v_2} v_2 \] entspricht dem Euler-Theorem für eine Produktionsfunktion, die homogen vom Grade r ist.