Wicksell-Johnson-Theorem
Ausgangspunkt ist die
Niveauproduktionsfunktion
\[
x(\lambda) = f(\lambda v_1^*, \lambda v_2^*),
\]
wobei
v1* und
v2* konstant sind und das Einheitsniveau mit λ
= 1
determinieren. Setzt man
\[
v_1=\lambda v_1^* \UND v_2=\lambda v_2^*,
\]
dann folgt
\[
\frac{\d x}{\d \lambda} \frac{\lambda}{x}
=\left(\abl{f}{v_1} \frac{\d v_1}{\d \lambda}+\abl{f}{v_2} \frac{\d v_2}{\d \lambda}\right)\frac{\lambda}{x}.
\]
Unter Berücksichtigung von
\[
\frac{\d v_i}{\d \lambda} \frac{\lambda}{x}
= \frac{\lambda v_i^*}{x} = \frac{v_i}{x} \MIT i=1,2
\]
erhält man das sogenannte
Wicksell-Johnson Theorem
\[
\frac{\d x}{\d \lambda} \frac{\lambda}{x}
= \abl{f}{v_1}\frac{v_1}{x} + \abl{f}{v_2}\frac{v_2}{x}
\]
Die Niveauelastizität stimmt mit der Summe der Faktorelastizitäten überein.
Ist die Niveauproduktionsfunktion homogen vom Grade
r, dann gilt darüber
hinaus (
Beweis)
\[
\frac{\d x}{\d \lambda} \frac{\lambda}{x} = r.
\]
Die alternative Schreibweise
\[
r x = \abl{f}{v_1} v_1 + \abl{f}{v_2} v_2
\]
entspricht dem
Euler-Theorem für eine
Produktionsfunktion, die homogen vom Grade
r ist.
