Homothetische Präferenzen
Vorbemerkung
Die Eigenschaft der Homothetie wird analog auch auf Produktionsfunktionen
angewendet.
Definition
- Eine Präferenzordnung $\geq_P$ heißt homothetisch, wenn für zwei
beliebige Güterbündel $\vx'$ und $\vx''$
\[
\vx' \geq_P\ \vx'' \implies \lambda \vx' \geq_P\ \lambda \vx''
\quad \forall\ \lambda >0
\]
gilt.
- Eine \localhref{nutzenfunktion.html}{Nutzenfunktion} $u$ heißt
homothetisch, wenn sie in der Form
\[
u(\vx) = F( f(\vx) )
\]
dargestellt werden kann, wobei die Funktion $f$ linear-homogen ist und $F$
eine positive, stetige und streng monotone Transformation bezeichnet.
Eigenschaften homothetischer Nutzenfunktionen
- Wenn die Güterbündel $\vx'$ und $\vx''$ auf derselben Indifferenzkurve
liegen, dann gilt
\[
u(\vx') = u(\vx'') \implies u(\lambda\vx') = u(\lambda \vx'')
\quad \forall\ \lambda >0
\]
- Die Grenzrate der Substitution (GRS) ist entlang
eines beliebigen Ursprungsstrahls konstant.
Beweis: Da $f$ linear-homogen ist, sind die pariellen Ableitungen homogen
vom Grade null, also auch ihr Quotient:
\[
\text{GRS}
\ =\ \frac{\frac{\d F}{\d f} \abl{f}{x_1}}{\frac{\d F}{\d f}\abl{f}{x_2}}
\ =\ \frac{\abl{f}{x_1}}{\abl{f}{x_2}}\ =\ \text{konst.}
\]
- Shephard hat gezeigt, dass sich die Ausgabenfunktion $e$ im Fall
homothetischer Präferenzen wie folgt faktorisieren lässt:
\[
e(\vp,U) = E(\vp) \psi(U)
\]
wobei $\psi$ die Umkehrfunktion von $F$ bezeichnet und $E$ linearhomogen in
$\vp$ ist. Damit gilt nach Shephards Lemma
\[
x_j^H(\vp, U) \ =\ \abl{e(\vp, U)}{p_j} \ =\ \abl{E(\vp)}{p_j} \psi(U)
\]
Schließlich gilt unabhängig vom Nutzenniveau $U$
\[
\frac{x_j^M(\vp, y)}{x_k^M(\vp, y)}
\ =\ \frac{x_j^H(\vp, U)}{x_k^H(\vp, U)}
\ =\ \frac{\partial E(p) / \partial p_j}{\partial E(p) / \partial p_k}
\]
