Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
Die Cobb-Douglas-Funktion
\[
x = a v_1^\alpha v_2^\beta
\]
ist eine substitutionale Produktionsfunktion und ein Spezialfall der
CES-Funktion.
Homogenitätsgrad (
Definition):
\[
\lambda^r x = a (\lambda v_1)^\alpha
(\lambda v_2)^\beta
= \lambda^{\alpha+\beta} a v_1^\alpha v_2^\beta
= \lambda^{\alpha+\beta} x
\]
Also ist die CD-Funktion homogen vom Grade $r= \alpha+\beta$.
Expansionspfad (Ursprungsgerade):
\[
\frac{\partial x / \partial v_1}{\partial x / \partial v_2} =
\frac{\alpha v_2}{\beta v_1} =\frac{q_1}{q_2}
\ \implies \ v_2 = \frac{\beta\ q_1}{\alpha\ q_2} v_1
\]
Faktornachfrage (Minimalkostenkombination, MKK):
\begin{eqnarray*}
v_1(q_1, q_2, x) &= \left[\frac{x}{a} \left(\frac{\alpha\ q_2}{\beta\ q_1}\right)^\beta\right]^{1/(\alpha+\beta)}\\
v_1(q_1, q_2, x) &= \left[\frac{x}{a} \left(\frac{\beta\ q_1}{\alpha\ q_2}\right)^\alpha\right]^{1/(\alpha+\beta)}
\end{eqnarray*}
Kostenfunktion:
\[
c(q_1, q_2, x) = (\alpha+\beta) \left[\frac{x}{a}\
\left(\frac{q_1}{\alpha}\right)^\alpha
\left(\frac{q_2}{\beta}\right)^\beta\right]^{1/(\alpha+\beta)}
\]
Faktornachfrage (Maximalproduktkombination, MPK):
\begin{eqnarray*}
v_1(q_1, q_2, c) &= \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \frac{c}{q_1}\\
v_1(q_1, q_2, c) &= \frac{\beta}{\alpha+\beta} \frac{c}{q_2}
\end{eqnarray*}
indirekte Produktionsfunktion
\[
z(q_1, q_2, c) = a \left(\frac{c}{\alpha+\beta}\right)^{\alpha+\beta}
\left(\frac{\alpha}{q_1}\right)^\alpha\left(\frac{\beta}{q_2}\right)^\beta
\]
Faktorelastizitäten:
\begin{eqnarray*}
\eta_{xv_1} =
\abl{x}{v_1}\frac{v_1}{x} &= a \alpha\ v_1^{\alpha-1}v_2^{\beta} \frac{v_1}{a
v_1^\alpha v_2^\beta}=\alpha\\
\eta_{xv_1} =
\abl{x}{v_2}\frac{v_2}{x} &= a \beta\ v_1^{\alpha}v_2^{\beta-1} \frac{v_1}{a
v_1^\alpha v_2^\beta}=\beta
\end{eqnarray*}
Ausgabenanteile:
\begin{eqnarray*}
\frac{q_1 v_1}{c(q_1, q_2, x)} &= \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\\
\frac{q_2 v_2}{c(q_1, q_2, x)} &= \frac{\beta}{\alpha+\beta}
\end{eqnarray*}
