Zinssatz
Zinsen bezeichnen eine Zahlung für die Nutzung eines
Vermögens (Geldbetrags) in einer bestimmten Periode. Der
Zinssatz setzt die Zinsen ins Verhältnis zum Vermögen je Zeiteinheit
(gewöhnlich ein Jahr) und kann als Preis für die zeitliche Verfügbarkeit von
Geld interpretiert werden. Werden die Zinsen erst nach mehreren
Abrechnungsperioden fällig, dann sind auch auf die noch nicht gezahlten Zinsen
ihrerseits Zinsen fällig, die so genannten .
Diskrete Verzinsung
Bei diskreter Verzinsung mit dem jährlichen Zinssatz $r$ eines Startkapitals
$K_0$ erhält man nach $n$ Perioden den Endwert
\[
K_t = K_0 (1+r)^n.
\]
Stetige Verzinsung
Bei stetiger Verzinsung mit dem jährlichen Zinssatz $r$ eines Startkapitals
$K(0)$ erhält man nach einer Periode der Länge $t$ den Endwert
\[
K(t) = K(0) e^{r t}.
\]
Die zweite Alternative stellt sich als Grenzfall heraus, wenn man bei
diskreter Verzinsung die Perioden immer weiter verkleinert (z.B. von
jährlicher, über monatliche, bis hin zu täglicher Verzinsung) und schließlich
gegen null streben lässt.
In beiden Fällen wächst das Kapital mit derselben Rate von $r$
Prozent (siehe
Wachstumsraten) im ersten Fall
jedoch pro Jahr und im zweiten Fall in jedem Zeitpunkt. Numerisch
unterscheiden sich die Ergebnisse daher im Laufe der Zeit immer mehr. Beispiel
für $r = 10$% p.a.: bei einem Jahr diskret $1+r = 1,1$, stetig
$e^r \approx\ 1,10517$; bei zwei Jahren diskret $(1+r)^2 = 1,21$, stetig
$e^{2 r} \approx\ 1,2214$; bei 50 Jahren diskret $(1+r)^{50} \approx 117,4$,
stetig $e^{50 r} \approx\ 148,4$.
Bei der Verzinsung ist zu berücksichtigen, dass das Kapital zwar nominal mit
der Rate $r$ wächst, wenn jedoch zugleich zu Preise mit der Inflationsrate
$\pi$ zunehmen, dann wird ein Teil der Verzinsung kompensiert. So wie der
reale Gegenwert (in Gütereinheiten) des Kapitals mit dem Zinssatz zunimmt, so
sinkt er mit steigenden Preisen der Güter. Der
reale Zinssatz
$r_{real}$ berücksichtigt diesen Effekt, indem der
nominale
Zinssatz $r = r_{nom}$ um die Inflationsrate $\pi$ korrigiert wird. Bei
stetiger Verzinsung erhält man für die reale Wachstumsrate des Kapitals
\[
K(t) = K(0) e^{r_{nom} t}\ e^{-\pi t} \implies r_{real} = r_{nom} - \pi.
\]
Bei diskreter Verzinsung folgt
\[
K_t = K_0 (1 + r_{nom})^n (1 - \pi)^n = K_0 (1 + r_{nom} - \pi - r_{nom}\pi)^n.
\]
Der reale Zinssatz ist demnach $r_{real} = r_{nom} - \pi - r_{nom}\pi$, wobei
der letzte Term gerne vernachlässigt wird, weil er numerisch in der Regel kaum
ins Gewicht fällt (und wohl auch weil beide Formeln der realen Verzinsung dann
scheinbar übereinstimmen).
Vorsicht: Auch die Vernachlässigung von
Nachkommastellen bei Wachstumsraten kann
erhebliche Bedeutung haben!
