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Privatdozent Dr. Hagen Bobzin

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Zinssatz

Zinsen bezeichnen eine Zahlung für die Nutzung eines Vermögens (Geldbetrags) in einer bestimmten Periode. Der Zinssatz setzt die Zinsen ins Verhältnis zum Vermögen je Zeiteinheit (gewöhnlich ein Jahr) und kann als Preis für die zeitliche Verfügbarkeit von Geld interpretiert werden. Werden die Zinsen erst nach mehreren Abrechnungsperioden fällig, dann sind auch auf die noch nicht gezahlten Zinsen ihrerseits Zinsen fällig, die so genannten .

Diskrete Verzinsung

Bei diskreter Verzinsung mit dem jährlichen Zinssatz $r$ eines Startkapitals $K_0$ erhält man nach $n$ Perioden den Endwert $$K_t = K_0 (1+r)^n.$$

Stetige Verzinsung

Bei stetiger Verzinsung mit dem jährlichen Zinssatz $r$ eines Startkapitals $K(0)$ erhält man nach einer Periode der Länge $t$ den Endwert $$K(t) = K(0) e^{r t}.$$

Die zweite Alternative stellt sich als Grenzfall heraus, wenn man bei diskreter Verzinsung die Perioden immer weiter verkleinert (z.B. von jährlicher, über monatliche, bis hin zu täglicher Verzinsung) und schließlich gegen null streben lässt. In beiden Fällen wächst das Kapital mit derselben Rate von $r$ Prozent (siehe Wachstumsraten) im ersten Fall jedoch pro Jahr und im zweiten Fall in jedem Zeitpunkt. Numerisch unterscheiden sich die Ergebnisse daher im Laufe der Zeit immer mehr. Beispiel für $r = 10$% p.a.: bei einem Jahr diskret $1+r = 1,1$, stetig $e^r \approx\ 1,10517$; bei zwei Jahren diskret $(1+r)^2 = 1,21$, stetig $e^{2 r} \approx\ 1,2214$; bei 50 Jahren diskret $(1+r)^{50} \approx 117,4$, stetig $e^{50 r} \approx\ 148,4$. Bei der Verzinsung ist zu berücksichtigen, dass das Kapital zwar nominal mit der Rate $r$ wächst, wenn jedoch zugleich zu Preise mit der Inflationsrate $\pi$ zunehmen, dann wird ein Teil der Verzinsung kompensiert. So wie der reale Gegenwert (in Gütereinheiten) des Kapitals mit dem Zinssatz zunimmt, so sinkt er mit steigenden Preisen der Güter. Der reale Zinssatz $r_{real}$ berücksichtigt diesen Effekt, indem der nominale Zinssatz $r = r_{nom}$ um die Inflationsrate $\pi$ korrigiert wird. Bei stetiger Verzinsung erhält man für die reale Wachstumsrate des Kapitals $$K(t) = K(0) e^{r_{nom} t}\ e^{-\pi t} \implies r_{real} = r_{nom} - \pi.$$ Bei diskreter Verzinsung folgt $$K_t = K_0 (1 + r_{nom})^n (1 - \pi)^n = K_0 (1 + r_{nom} - \pi - r_{nom}\pi)^n.$$ Der reale Zinssatz ist demnach $r_{real} = r_{nom} - \pi - r_{nom}\pi$, wobei der letzte Term gerne vernachlässigt wird, weil er numerisch in der Regel kaum ins Gewicht fällt (und wohl auch weil beide Formeln der realen Verzinsung dann scheinbar übereinstimmen). Vorsicht: Auch die Vernachlässigung von Nachkommastellen bei Wachstumsraten kann erhebliche Bedeutung haben!