Wachstumsrate
Die
Wachstumsrate einer Größe gibt ihr relatives Wachstum in
der Zeit an.
Diskrete Größen.
Die Wachstumsrate einer in der Zeit $t$ wachsenden Größe $Y$ ist
definiert als
\[
w_Y =\ \frac{Y_{t+1}-Y_{t}}{Y_t}
\]
Beispiel:
Bei einem jährlichen Zinssatz $i$ wächst das Startkapital $K_0$ mit der Rate $i$.
\[
K_t=K_0(1+i)^t
\]
Also gilt
\[
w_K=\frac{K_{t+1}-K_{t}}{K_t}=\frac{K_0(1+i)^{t+1}-K_0(1+i)^t}{K_0(1+i)^t}=i
\]
Stetige Größen.
Die Wachstumsrate einer in der Zeit $t$ stetig wachsenden Größe $Y$ ist
definiert als
\[
w_Y =\ \frac{\d Y(t)}{\d t}\ \frac{1}{Y(t)}\ = \ \frac{\d \ln Y}{\d t}
\]
Beispiel: Die Größe $Y$ wächst stetig mit der Rate $r$, wenn
$Y(t)=Y(0)\text{e}^{rt}$, denn
\[
w_y=\frac{\d \ln Y(t)}{\d t}=\frac{\d (\ln Y(0)+rt)}{\d t}=r
\]
Aufgrund des logarithmischen Zusammenhangs kann man die Wachstumsraten
multiplikativ verknüpfter Größen relativ einfach berechnen:
\[
Y = A^\alpha L^\beta \iff \ln Y = \alpha\ \ln A + \beta\ \ln B
\implies w_Y = \alpha\ w_A + \beta\ w_L
\]
