Monotone Transformation einer Nutzenfunktion
Ausgangspunkt ist eine ordinale Nutzenfunktion
\[
U = u(x_1, x_2).
\]
Die Funktion $F$ ist ein monotone Transformation von $U$, wenn für beliebige
Nutzenniveaus $U'$ und $U''$ gilt:
\[
U' > U'' \iff F(U') > F(U'')
\]
In diesem Fall beschreibt auch $W(x_1, x_2) = F\big(u(x_1, x_2)\big)$ die
Präferenzordnung. Die Transformation $F$ verändert lediglich die Endgröße von
$U$ sowie die Größe der Nutzenindizes der einzelnen Indifferenzkurven (bei
gleichem effektiven Nutzen),
nicht aber das System (insbesondere Lage)
der Indifferenzkurven. Damit bleibt der
optimale Verbrauchsplan unverändert.
Analytisch: Maximiere den Nutzen einer transformierten
Nutzenfunktion
\begin{eqnarray*}
&&W(x_1, x_2) = F( u(x_1, x_2) ) \to \text{Max.}\\
\text{u.d.NB.} &&p_1x_1 + p_2x_2 = y\\
&&x_1, x_2 \geq 0
\end{eqnarray*}
Die zugehörige Lagrange-Funktion
\[
\cL(x_1,x_2,\lambda)
= F( u(x_1, x_2) )+ \lambda (y - p_1x_1 - p_2x_2)
\]
liefert folgende Optimumbedingungen
\begin{eqnarray*}
\abl{\cL}{x_1} &=& \frac{\d F}{\d U} \abl{u}{x_1} - \lambda^* p_1 = 0\\
\abl{\cL}{x_2} &=& \frac{\d F}{\d U} \abl{u}{x_2} -\lambda^* p_2 = 0\\
\abl{\cL}{\lambda} &=& y - p_1x_1^* - p_2x_2^* = 0
\end{eqnarray*}
Der Lagrange-Multiplikator $\lambda^*$ lässt sich eliminieren, indem die
ersten beiden Gleichungen durcheinander dividiert werden. Dabei kürzt sich $\d
F/\d U$ heraus; der optimale Konsumplan bleibt unverändert!
\[
\text{GRS} = \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u/ \partial x_2}
=\frac{p_1}{p_2}
\]
