Gesamtwirtschaftliche Erlösmaximierung
Das Problem der Erlösmaximierung hat eine Bedingung der Form
\[
\frac{\partial f_2/\partial v_{12}}{\partial f_1/\partial v_{11}}=
\frac{\partial f_2/\partial v_{22}}{\partial f_1/\partial v_{21}}=\frac{p_1}{p_2}.
\]
ergeben. Eine Interpretation der beiden linken Ausdrücke als
Grenzrate der
Transformation (GRT) erfordert die totalen Differential beider
Produktionsfunktion
\[
\d x_j=\abl{f_j}{v_{1j}}\d v_{1j}+\abl{f_j}{v_{2j}}\d v_{2j}\qquad(j=1,2)
\]
Die Grenzrate der Transformation ist definiert als
\[
\text{GRT}=-\frac{\d x_2}{\d x_1}=
-\frac{\abl{f_2}{v_{12}}\d v_{12}+\abl{f_2}{v_{22}}\d v_{22}}
{\abl{f_1}{v_{11}}\d v_{11}+\abl{f_1}{v_{21}}\d v_{21}}
\]
Eine (marginale) Reallokation der Faktoren bedeutet, dass ein Sektor alles
erhält, was dem anderen Sektor weggenommen wird.
\[
\d v_{11}=-\d v_{12}\quad\text{und}\quad\d v_{21}=-\d v_{22}
\]
Damit folgt
\[
\text{GRT}=-\frac{\d x_2}{\d x_1}=
\frac{\abl{f_2}{v_{12}}\d v_{12}+\abl{f_2}{v_{22}}\d v_{22}}
{\abl{f_1}{v_{11}}\d v_{12}+\abl{f_1}{v_{21}}\d v_{22}}
\]
Ein einfache Umstellung liefert
\[
\text{GRT}=-\frac{\d x_2}{\d x_1}=
\frac{\d v_{12}+\left(\abl{f_2}{v_{22}}/\abl{f_2}{v_{12}}\right)\d v_{22}}
{\d v_{12}+\left(\abl{f_1}{v_{21}}/\abl{f_1}{v_{11}}\right)\d v_{22}}
\cdot
\frac{\abl{f_2}{v_{12}}}{\abl{f_1}{v_{11}}}
\]
Die beiden geklammerten Ausdrücke bezeichnen die sektoralen Grenzraten der
Substitution, die im
Optimum der Erlösmaximierung
übereinstimmen (GRS$_1$=GRS$_2$). Also gilt wie zu Beginn unterstellt
\[
\text{GRT}=-\frac{\d x_2}{\d x_1}=
\frac{\abl{f_2}{v_{12}}}{\abl{f_1}{v_{11}}}
=\frac{\abl{f_2}{v_{22}}}{\abl{f_1}{v_{21}}},
\]
wobei sich der letzte Ausdruck im Wege der Analogie ergibt.
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