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\def\cL{\mathcal{L}} \def\abl#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\d{\textrm{d}}

Gesamtwirtschaftliche Erlösmaximierung

Das Problem der Erlösmaximierung hat eine Bedingung der Form \frac{\partial f_2/\partial v_{12}}{\partial f_1/\partial v_{11}}= \frac{\partial f_2/\partial v_{22}}{\partial f_1/\partial v_{21}}=\frac{p_1}{p_2}. ergeben. Eine Interpretation der beiden linken Ausdrücke als Grenzrate der Transformation (GRT) erfordert die totalen Differential beider Produktionsfunktion \d x_j=\abl{f_j}{v_{1j}}\d v_{1j}+\abl{f_j}{v_{2j}}\d v_{2j}\qquad(j=1,2) Die Grenzrate der Transformation ist definiert als \text{GRT}=-\frac{\d x_2}{\d x_1}= -\frac{\abl{f_2}{v_{12}}\d v_{12}+\abl{f_2}{v_{22}}\d v_{22}} {\abl{f_1}{v_{11}}\d v_{11}+\abl{f_1}{v_{21}}\d v_{21}} Eine (marginale) Reallokation der Faktoren bedeutet, dass ein Sektor alles erhält, was dem anderen Sektor weggenommen wird. \d v_{11}=-\d v_{12}\quad\text{und}\quad\d v_{21}=-\d v_{22} Damit folgt \text{GRT}=-\frac{\d x_2}{\d x_1}= \frac{\abl{f_2}{v_{12}}\d v_{12}+\abl{f_2}{v_{22}}\d v_{22}} {\abl{f_1}{v_{11}}\d v_{12}+\abl{f_1}{v_{21}}\d v_{22}} Ein einfache Umstellung liefert \text{GRT}=-\frac{\d x_2}{\d x_1}= \frac{\d v_{12}+\left(\abl{f_2}{v_{22}}/\abl{f_2}{v_{12}}\right)\d v_{22}} {\d v_{12}+\left(\abl{f_1}{v_{21}}/\abl{f_1}{v_{11}}\right)\d v_{22}} \cdot \frac{\abl{f_2}{v_{12}}}{\abl{f_1}{v_{11}}} Die beiden geklammerten Ausdrücke bezeichnen die sektoralen Grenzraten der Substitution, die im Optimum der Erlösmaximierung übereinstimmen (GRS_1=GRS_2). Also gilt wie zu Beginn unterstellt \text{GRT}=-\frac{\d x_2}{\d x_1}= \frac{\abl{f_2}{v_{12}}}{\abl{f_1}{v_{11}}} =\frac{\abl{f_2}{v_{22}}}{\abl{f_1}{v_{21}}}, wobei sich der letzte Ausdruck im Wege der Analogie ergibt.

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