$\def\vp{\textbf{p}}\def\vx{\textbf{x}}\def\vO{\textbf{0}}$ $\def\trans{^{{\textsf{T}}}}$

Ausgabenfunktion vs. indirekte Nutzenfunktion

Die Ausgabenfunktion $e(\vp, U)$ ist die Lösung des Problems der Ausgabenminimierung \[ e(\vp, U)=\min_{\vx\geq\vO}\left\{\vp\trans\vx\ |\ U\leq u(\vx)\right\}, \] so wie die indirekte Nutzenfunktion $v(\vp, y)$ das Problem der Nutzenmaximierung \[ v(\vp, y)=\max_{\vx\geq\vO}\left\{u(\vx)|\ \vp\trans\vx\leq y\right\} \] bezeichnet.
Neben der Symmetrie wird die Verwandschaft (Dualität) beider Probleme deutlich, wenn man den Parameter $y$ der zweiten Problems mit der Lösung des ersten Problems gleichsetzt. Dann folgt \[ y=e(\vp, U) \iff U = e^{-1}(\vp, y ) = v(\vp, y). \] Die indirekte Nutzenfunktion ist in Bezug auf das Budget die Umkehrfunktion der Ausgabenfunktion.
Ganz analog ergibt sich \[ U=v(\vp, y) \iff y = v^{-1}(\vp, U ) = e(\vp, U). \] Damit erhält die zunächst schwer interpretierbare indirekte Nutzenfunktion eine nahe Verwandte, nämlich die Ausgabenfunktion, deren Interpretation Ökonomen erheblich leichter fällt.
indirekte Nutzenfunktion $v(\vp, y)$
Ausgabenfunktion $e(\vp, U)$