Privatdozent Dr. Hagen Bobzin

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Duopol

Im betrachteten (Angebots-)Duopol bieten zwei Anbieter ein Gut auf einem Markt an, wobei eine große Zahl von Nachfragern mit jeweils verschwindend kleinem Marktanteil unterstellt wird. Haben die Nachfrage keine Präferenzen für einen der beiden Anbieter, so spricht man von einem homogenen Duopol, sonst von einem heteronomen Duopol. Siehe hierzu auch Marktformen. Schließlich wird unterstellt, dass alle Marktteilnehmer vollständig informiert sind. Bei Markttransparenz und Abwesenheit von Präferenzen gilt das Gesetz der Unterschiedslosigkeit der Preise; es kann also nur einen einheitlichen Preis geben. Man beachte, dass ein einheitlicher Preis, ein Ergebnis aus dem unterstellten Verhalten aller Marktteilnehmer ist und nicht notwendigerweise durch Absprachen der Duopolisten (wie etwa in einem Kartell) zustande kommt. Im Rahmen des wesentliche einfacher zu behandelnden homogenen Duopols sind weitere Klassifikationen vorzunehmen. So können die Anbieter entweder ihre Mengen oder die Preise festlegen. Die Mengenstrategie wird üblicherweise mit Cournot in Verbindung gebracht, während Überlegungen zur Preisstrategie auf Bertrand zurückgehen. Zweifellos hängen die beiden Anbieter wechselseitig voneinander ab, denn Aktionen des einen verändern auch die Situation des anderen. Folglich sind Annahmen darüber zu treffen, welche Reaktionen des Konkurrenten die beiden Duopolisten erwarten. Autonomes Verhalten unterstellt, dass der Konkurrent nicht auf eigene Aktionen reagiert bzw. dass man die Reaktionen vernachlässigen kann. Die Strategie, eigene Entscheidungen auf gegebene Entscheidungen des Konkurrenten anzupassen, ist von Nash vorgeschlagen worden. Dagegen berücksichtigt heteronomes Verhalten die vermuteten Reaktionen des Konkurrenten und versucht sie bei der eigenen Entscheidungsfindung vorwegzunehmen. Im Ansatz von von Stackelberg wird heteronomes Verhalten für einen der beiden Anbieter eingeführt (abhängige Position), während sich der zweite Duopolist (unabhängige Position) weiterhin autonom verhält. Man spricht daher von einem asymmetrischen Duopol.

1. Homogenes Duopol bei Mengenfixierung (Cornot-Nash)
2. Homogenes Duopol bei Mengenfixierung und asymmetrischem Verhalten (von Stackelberg)
3. Homogenes Duopol bei Mengenfixierung im Kartell
4. Homogenes Duopol bei Preisfixierung (Bertrand)
5. Heterogenes Duopol bei autonomer und heteronomer Preisfixierung (Launhard-Hotelling)

1. Homogenes Duopol bei Mengenfixierung 2. Homogenes Duopol bei Mengenfixierung und asymmetrischem Verhalten Das vorausgesetzt autonome Verhalten im Cournot-Nash Ansatz sollte man insofern hinterfragen, als die Annahme der vollständigen Information nahelegt, die vorhersehbare Reaktion des Konkurrenten in das eigene Kalkül einzubeziehen. Für große Anbieter mag das autonome Verhalten sinnvoll sein, aber zumindest kleine Anbieter werden in der Regel gezwungen sein, auf große Konkurrenten zu reagieren. Von Stackelberg hat diese Idee aufgegriffen, um zu untersuchen, ob sich durch heteronomes Verhalten Vorteile ergeben. Er bezeichnet den Anbieter, der sich fortan heteronom verhält, als unabhängig. Der andere Anbieter verhält sich annahmegemäß weiterhin autonom und befindet sich in der abhängigen Position. Die Grundstruktur des Duopolmodells bleibt damit die gleiche wie zuvor: \begin{eqnarray*} \pi_1(x_1,x_2)&\ =\ & p(x_1+x_2) x_1 - c_1(x_1),\\ \pi_2(x_1,x_2)&\ =\ & p(x_1+x_2) x_2 - c_2(x_2). \end{eqnarray*} Ist Anbieter 1 in der abhängigen Position - verhält sich also autonom - so berechnet er wie bisher $\partial \pi_1/\partial x_1 = 0$ oder äquivalent $x_1 = R_1(x_2)$. Diese Reaktionsfunktion kann der zweite unabhängige Anbieter beobachten und berücksichtigt sie klugerweise in seinem eigenen Kalkül. \[ \pi_2(x_2) = p(R_1(x_2)+x_2) x_2 - c_2(x_2). \] Berechnet er nun $\d\pi_2/\d x_2 = 0$, so wählt er implizit den für ihn günstigsten (also gewinnmaximalen) Punkt auf der Reaktionskurve des abhängigen Konkurrenten. Diese Lösung weicht nur dann von der ursprünglichen Cournot-Nash Lösung ab, wenn dadurch die Gewinnsituation verbessert werden kann.
Vorsicht: Der abhängige Spieler muss zu einer Reaktion gezwungen werden. Wenn er aber den ersten Zug macht (als erster eine Entscheidung fällt), dann kann er sich aus der Abhängigkeit befreien. Außerdem sieht die Lösung des Modells anders aus, wenn beide Duopolisten glauben, sie wären in der unabhängigen Position.
Literaturempfehlung: Schumann, Meyer, Ströbele, Grundzüge der mikroökonomischen Theorie 3. Homogenes Duopol bei Mengenfixierung im Kartell Sowohl in dem Ansatz von Cournot-Nash als auch von von Stackelberg werden zwei Konkurrenten betrachtet, die nicht miteinander kooperieren. Damit stellt sich die Frage, inwiefern sie durch Absprachen den gemeinsamen Gewinn \[ \pi(x_1,x_2) = \pi_1(x_1,x_2)+\pi_2(x_1,x_2) = p(x_1+x_2) (x_1+x_2) - c_1(x_1) - c_2(x_2). \] steigern können. Der zusätzliche Gewinn dieses Kartells könnte dann aufgeteilt werden, so dass beide einen Vorteil haben. Dabei ist die Grundüberlegung, dass kooperierende Anbieter sich prinzipiell auf die beiden zuvor genannten Lösungen einigen können. Die gemeinsame Gewinnmaximierung muss also mindestens die alten Gewinne erzielen. Die optimalen Mengen $x_1^*$ und $x_1^*$ können über die Berechnung von $\partial \pi/\partial x_1 = 0$ und $\partial \pi/\partial x_2 = 0$ ermittelt werden.
Vorsicht: Für die dauerhafte Einhaltung des Kartells ist es notwendig, dass die Umverteilung der Gewinne zuverlässig funktioniert. Sobald die Umverteilung nicht mehr ausreicht, vorteilhafte Alleingänge der Duopolisten zu kompensieren wird das Kartell von innen aufgebrochen. Da Kartelle verboten sind, dürften wirksame Bestrafungsmechanismen, die das Kartell intern schützen, nicht durchsetzbar sein. 4. Homogenes Duopol bei Preisfixierung Die Kernüberlegung von Bertrand zielt auf die Beobachtung ab, dass Unternehmen in der Realität häufig den Preis für ihr Produkt festlegen und die resultierende abgesetzte Mengen hinnehmen. Diese Annahme ist unter den stilisierten Bedingungen der Präferenzlosigkeit und der Markttransparenz zumindest problematisch. Denn wenn beide Duopolisten nicht simultan denselben Preis für das homogene Gut wählen, werden sämtliche Nachfrager entweder zu dem einen oder dem anderen Anbieter gehen, je nachdem wer den niedrigeren Preis gesetzt hat. Zumindest zwei mögliche Anpassungsprozesse kann man sich vorstellen.

Ohne Kapazitätsbegrenzung.

Ausgehend von einem Monopol mit einem relativ hohen Monopolpreis und entsprechendem Gewinn, tritt ein zweiter Anbieter in den Markt ein. Er unterbietet den ehemaligen Monopolisten im Preis und erzielt nun einen Gewinn, indem er die gesamte Nachfrage auf sich zieht. Der ehemalige Monopolist steht nun vor der Wahl, den Markt zu verlassen, denselben Preis wie der neue Konkurrent zu setzen oder ihn sogar zu unterbieten. Da bei gleichem Preis die Nachfrage irgendwie zwischen den beiden Anbietern aufgeteilt wird, dürfte die Unterbietung vorteilhaft erscheinen. Die induzierte Folge abwechselnder Preissenkungen endet, entweder wenn beide denselben gewinnmaximalen Preis setzen (dann müssen beide dieselben Grenzkosten aufweisen) oder wenn einer den anderen dauerhaft im Preis unterbieten kann. Im letzteren Fall kehrt man also zum Monopol zurück.
Vorsicht: Die Preis-gleich-Grenzkosten Regel besagt nur, dass der Gewinn maximiert wird, nicht dass der Gewinn auch positiv ist. Wenn also die Aufteilung des Marktes zu Verlusten beider Anbieter führt, wird früher oder später einer der beiden aufgeben müssen.

Mit Kapazitätsbegrenzung.

Wenn eines der beiden Unternehmen bei einem Preis angekommen ist, der mit den Grenzkosten übereinstimmt, kann es zu einem gewissen Spielraum für das andere (zweite) Unternehmen kommen. Legt der zweite Anbieter einen höheren Preis fest, so vereinigt der (erste) Konkurrent die gesamte Nachfrage bis zu seiner Kapazitätsgrenze auf sich. Für die Restnachfrage hat das zweite Unternehmen ein Teilmonopol, kann also einen höheren Preis als das erste Unternehmen festlegen. Im Umkehrschluss wird das erste Unternehmen nun seinen Preis anheben, denn solange es billiger als der Konkurrent bleibt, ist die Auslastung der eigenen Kapazität nicht gefährdet. Fraglich bleibt, ob der zweite Anbieter die sich einstellende Situation akzeptiert, denn prinzipiell könnte er nun eine erneute Preissenkungsrunde auslösen.

5. Heterogenes Duopol bei autonomer und heteronomer Preisfixierung In einem homogenen Duopol mit vollständigen Informationen ist jede Preisfestlegung unabdingbar mit dem Problem verbunden, dass die gesamte Nachfrager immer auf den Anbieter mit dem niedrigsten Preis entfällt; es sei denn, beide Duopolisten setzen zufällig simultan den gleichen Preis fest. Launhardt und Hotelling haben daher auf die Annahme eines homogenen Duopols verzichtet und gehen davon aus, dass die Nachfrager Präferenzen für die beiden Anbieter haben. Damit können die Preise voneinander abweichen, ohne dass einer der beiden Anbieter seine gesamte Nachfrage an die Konkurrenz verliert. Folglich weisen die Duopolisten unterschiedliche Preis-Absatz-Funktionen auf. \begin{eqnarray*} x_1&\ =\ & x_1(p_1,p_2)\\ x_2&\ =\ & x_2(p_1,p_2)\\ \text{Gesamtnachfrage:}\quad x = x_1+x_2&\ =\ & x_1(p_1,p_2) + x_2(p_1,p_2) \end{eqnarray*} Bei typischen Reaktionen der abgesetzen Mengen muss zunächst $\partial x_1/\partial p_1 < 0$ und $\partial x_2/\partial p_2 < 0$ gelten. Erhöht einer der beiden Anbieter seinen Preis, werden einige Kunden zur Konkurrenz wechseln ($\partial x_1/\partial p_2 \geq 0$ und $\partial x_2/\partial p_1 \geq 0$), während andere Kunden den Konsum einschränken oder sogar ganz einstellen ($\partial x/\partial p_1 < 0$ und $\partial x/\partial p_2 < 0$). Der Grundansatz des Duopolmodells bleibt damit der gleiche wie zuvor, allerdings werden nun die Preise festgelegt: \begin{eqnarray*} \pi_1(p_1,p_2)&\ =\ & p_1 x_1(p_1,p_2) - c_1( x_1(p_1,p_2) ),\\ \pi_2(p_1,p_2)&\ =\ & p_2 x_2(p_1,p_2) - c_2( x_2(p_1,p_2) ). \end{eqnarray*} Verhalten sich die Anbieter autonom, lässt sich das Nash-Gleichgewicht $(p_1^*,p_2^*)$ über die notwendigen Bedingungen erster Ordnung für die Gewinnmaximierung bestimmen: $\partial \pi_1/\partial p_1 = 0$ und $\partial \pi_2/\partial p_2 = 0$. Die Umstellung dieser Gleichungen in der Form $p_1=R_1(p_2)$ und $p_2=R_2(p_1)$ werden wiederum als Reaktionsfunktionen bezeichnet. Ihr Schnittpunkt liefert das Nash-Gleichgewicht im Sinne wechselseitig bester Anworten.
Vorsicht: Sofern Reaktionsfunktionen berechnet werden können, müssen sie sich nicht notwendigerweise auch schneiden. Auch mehrere oder irrelevante Schnittpunkte im negativen Bereich sind denkbar. Außerdem ist a priori nicht klar, ob eine Lösung stabil ist; das heißt, ob ein Anpassungsprozess existiert, der zu einer Lösung führt. Auch die asymmetrische Lösung im Sinne von von Stackelberg kann nur analysiert werden. Verhält sich der erste Anbieter autonom mit der Reaktionsfunktion $p_1 = R_1(p_2)$, so wird der zweite unabhängige Anbieter bei heteronomem Verhalten diese Information verwenden. \[ \pi_2(p_2) = p_2 x_2( R_1(p_2),p_2 ) - c_2( x_2( R_1(p_2),p_2 ) ) \] "Der Rest ist Rechentechnik".