$\def\vp{\textbf{p}}\def\vx{\textbf{x}}$ $\def\abl#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\d{\textrm{d}}$

Homothetische Präferenzen

Vorbemerkung
Die Eigenschaft der Homothetie wird analog auch auf Produktionsfunktionen angewendet.
Definition
  1. Eine Präferenzordnung $\geq_P$ heißt homothetisch, wenn für zwei beliebige Güterbündel $\vx'$ und $\vx''$ \[ \vx' \geq_P\ \vx'' \implies \lambda \vx' \geq_P\ \lambda \vx'' \quad \forall\ \lambda >0 \] gilt.
  2. Eine \localhref{nutzenfunktion.html}{Nutzenfunktion} $u$ heißt homothetisch, wenn sie in der Form \[ u(\vx) = F( f(\vx) ) \] dargestellt werden kann, wobei die Funktion $f$ linear-homogen ist und $F$ eine positive, stetige und streng monotone Transformation bezeichnet.
Eigenschaften homothetischer Nutzenfunktionen
  1. Wenn die Güterbündel $\vx'$ und $\vx''$ auf derselben Indifferenzkurve liegen, dann gilt \[ u(\vx') = u(\vx'') \implies u(\lambda\vx') = u(\lambda \vx'') \quad \forall\ \lambda >0 \]
  2. Die Grenzrate der Substitution (GRS) ist entlang eines beliebigen Ursprungsstrahls konstant.
    Beweis: Da $f$ linear-homogen ist, sind die pariellen Ableitungen homogen vom Grade null, also auch ihr Quotient: \[ \text{GRS} \ =\ \frac{\frac{\d F}{\d f} \abl{f}{x_1}}{\frac{\d F}{\d f}\abl{f}{x_2}} \ =\ \frac{\abl{f}{x_1}}{\abl{f}{x_2}}\ =\ \text{konst.} \]
  3. Shephard hat gezeigt, dass sich die Ausgabenfunktion $e$ im Fall homothetischer Präferenzen wie folgt faktorisieren lässt: \[ e(\vp,U) = E(\vp) \psi(U) \] wobei $\psi$ die Umkehrfunktion von $F$ bezeichnet und $E$ linearhomogen in $\vp$ ist. Damit gilt nach Shephards Lemma \[ x_j^H(\vp, U) \ =\ \abl{e(\vp, U)}{p_j} \ =\ \abl{E(\vp)}{p_j} \psi(U) \] Schließlich gilt unabhängig vom Nutzenniveau $U$ \[ \frac{x_j^M(\vp, y)}{x_k^M(\vp, y)} \ =\ \frac{x_j^H(\vp, U)}{x_k^H(\vp, U)} \ =\ \frac{\partial E(p) / \partial p_j}{\partial E(p) / \partial p_k} \]