$\def\vx{\textbf{x}}\def\vy{\textbf{y}}\def\vO{\textbf{0}}$

Sattelpunkt

Der Punkt $(\vx^*,\vy^*)$ bezeichnet einen Sattelpunkt der Funktion $L$, wenn entweder \[ L(\vx^*,\vy)\leq L(\vx^*,\vy^*)\leq L(\vx,\vy^*) \qquad\forall\,\vx,\ \forall\,\vy \] oder \[ L(\vx^*,\vy)\geq L(\vx^*,\vy^*)\geq L(\vx,\vy^*) \qquad\forall\,\vx,\ \forall\,\vy \] erfüllt ist. Im ersten Fall kann man sich die Lagrange-Funktion eines Minimierungsproblems vorstellen, wobei über den Variablen $\vx$ minimiert und über den Lagrange-Multiplikatoren $\vy$ maximiert wird. Der zweite Fall entspricht der Lagrange-Funktion eines Maximierungsproblems, wobei über den Variablen $\vx$ maximiert und über den Lagrange-Multiplikatoren $\vy$ minimiert wird.
Aus geometrischer Sicht ist es hilfreich, sich einen Pferdesattel vorzustellen, so wie es die folgende Abbildung veranschaulicht.
Abb. Sattelpunkt