Nullkupon-Anleihen

Der (befristete oder unbefristete) Kauf einer Anleihe kann sich unter zwei Aspekten lohnen: zum einen zahlt der Emittent (Herausgeber) in der Regel eine feste Verzinsung und zum anderen kann der Kurs des Wertpapiers steigen, so dass man es eventuell gewinnbringend weiterverkaufen kann.
Ein Kupon ist ein Zins- oder Dividendenschein zur Einlösung der Erträge aus festverzinslichen Wertpapieren bzw. Aktien. In der Regel gehört zu jeder Wertpapierurkunde ein Bogen mit Kupons für einen Zeitraum von zehn Jahren. Bei Fälligkeit wird der Kupon abgeschnitten und über eine Bank eingelöst.
(a) Bei einem festen Zinssatz $r$ p.a. und einem nominalen Wert der Anleihe $K_n$ nach $n$ Perioden ergibt sich folgendes Kalkül für die tatsächliche Verzinsung $z$ des Wertpapiers mit Ausgabekurs $K_0$ (sofern sämtliche Zinsen einschließlich Zinseszinsen am Ende der Periode ausgezahlt werden): \[ K_0 (1+z)^n = [ (1+r)^n K_0 - K_0 ] + K_n, \] wobei der Term in eckigen Klammern die reinen Zinsen angibt.
Durch Umstellung dieser Gleichung \[ (1+z)^n = (1+r)^n - 1 +\ \frac{K_n}{K_0} \] wird deutlich, dass $z = r$ gilt, wenn die Anleihe zum gleichen Kurs zurückgenommen wird, wie sie ausgeteilt worden ist.
(b) Alternativ kann der Fall einer Rente behandelt werden, bei dem man sich die Zinsszahlungen $r K_0$ am Ende jeder Zinsperiode auszahlen lässt (die Kupons einlöst). Der Endwert dieser Rente einschließlich dem Nominalwert $K_n$ liefert wiederum die tatsächliche Verzinsung $z$ \[ K_0 (1+z)^n = r K_0\ \frac{{(1+z)^n-1}}{z}\ + K_n \] Auch hier folgt $z = r$ (nach wenigen Umformungen), wenn die Anleihe zum gleichen Kurs zurückgenommen wird, wie sie emittiert worden ist.
Nullkupon-Anleihen (engl. zero bonds) haben keine Zinskupons, das heißt sie werden nicht verzinst ($r = 0$), allerdings liegt der Ausgabekurs $K_0$ entsprechend tief unter dem Nominalwert $K_n$ (also dem Rücknahmekurs). Die implizite Verzinsung $z$ folgt damit aus \[ z =\ \left(\frac{K_n}{K_0}\right)^{1/n}\ -1. \] Die entsprechende Rechnung für eine stetige Verzinsung liefert für eine Periode $t$ \[ e^{z t} =\ \frac{K(t)}{K(0)}. \]