Nullkupon-Anleihen
Der (befristete oder unbefristete) Kauf einer Anleihe kann sich unter
zwei Aspekten lohnen: zum einen zahlt der Emittent (Herausgeber) in der Regel
eine feste Verzinsung und zum anderen kann der Kurs des Wertpapiers steigen,
so dass man es eventuell gewinnbringend weiterverkaufen kann.
Ein
Kupon ist ein Zins- oder Dividendenschein zur Einlösung
der Erträge aus festverzinslichen Wertpapieren bzw. Aktien. In der Regel
gehört zu jeder Wertpapierurkunde ein Bogen mit Kupons für einen Zeitraum von
zehn Jahren. Bei Fälligkeit wird der Kupon abgeschnitten und über eine Bank
eingelöst.
(a) Bei einem festen Zinssatz $r$ p.a. und einem nominalen Wert der
Anleihe $K_n$ nach $n$ Perioden ergibt sich folgendes Kalkül für die
tatsächliche Verzinsung $z$ des Wertpapiers mit Ausgabekurs $K_0$ (sofern
sämtliche Zinsen einschließlich Zinseszinsen am Ende der Periode ausgezahlt
werden):
\[
K_0 (1+z)^n = [ (1+r)^n K_0 - K_0 ] + K_n,
\]
wobei der Term in eckigen Klammern die reinen Zinsen angibt.
Durch Umstellung dieser Gleichung
\[
(1+z)^n = (1+r)^n - 1 +\ \frac{K_n}{K_0}
\]
wird deutlich, dass $z = r$ gilt, wenn die Anleihe zum gleichen Kurs
zurückgenommen wird, wie sie ausgeteilt worden ist.
(b) Alternativ kann der Fall einer Rente behandelt werden, bei dem
man sich die Zinsszahlungen $r K_0$ am Ende jeder Zinsperiode auszahlen
lässt (die Kupons einlöst). Der Endwert dieser Rente einschließlich dem
Nominalwert $K_n$ liefert wiederum die tatsächliche Verzinsung $z$
\[
K_0 (1+z)^n = r K_0\ \frac{{(1+z)^n-1}}{z}\ + K_n
\]
Auch hier folgt $z = r$ (nach wenigen Umformungen), wenn die Anleihe zum
gleichen Kurs zurückgenommen wird, wie sie emittiert worden ist.
Nullkupon-Anleihen (engl.
zero bonds) haben keine
Zinskupons, das heißt sie werden nicht verzinst ($r = 0$), allerdings liegt
der Ausgabekurs $K_0$ entsprechend tief unter dem Nominalwert $K_n$ (also
dem Rücknahmekurs). Die implizite Verzinsung $z$ folgt damit aus
\[
z =\ \left(\frac{K_n}{K_0}\right)^{1/n}\ -1.
\]
Die entsprechende Rechnung für eine stetige Verzinsung liefert für eine
Periode $t$
\[
e^{z t} =\ \frac{K(t)}{K(0)}.
\]
