Input-Distanzfunktion (Einproduktunternehmung)
Ausgangspunkt ist eine gegebene Produktionsaktivität $(x,\vv)$ mit $\vv>\vO$,
d.h. alle eingesetzten Faktormengen sind positiv. Die
Inputdistanzfunktion bestimmt den größten Skalar
$\lambda$, so dass $(x,\vv/\lambda)$ eine technisch zulässige Aktivität bezeichnet.
Auf Basis der Produktionsfunktion $x$ wird die Inputdistanzfunktion $t_I$ wie
folgt definiert:
\[
t_I(\vv,x)=\max_{\lambda>0}\left\{\ \lambda\ |\ x(\vv/\lambda)\geqq x\right\}
\]
Damit entspricht das Konstruktionsprinzip der
totalen
Faktorvariation entlang eines Ursprungsstrahls. In der Graphik wird der
Inputvektor $\vv$ skaliert, bis er auf der Isquante für das gegebene
Outputniveau $x$ liegt.
Fazit: Ist das optimale $\lambda$ größer als eins, werden
Produktionsfaktoren verschwendet. Gilt im Optimum $\lambda<1$, reichen die
Produktionsfaktoren nicht aus, das Outputniveau $x$ herzustellen (unzulässige
Aktivität $(x,\vv)$).
Die direkte Beziehung zur Produktionsfunktion ist gegeben durch
\[
t_I(\vv,x)\geqq\lambda\iff x(\vv/\lambda)\geqq x.
\]
