$\def\cL{\mathcal{L}}$ $\def\abl#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\d{\textrm{d}}$

Der optimale Verbrauchsplan: Analytische Bestimmung

Outputmaximierung

ökonomisches Prinzip
Problem der Maximierung einer Produktionsfunktion $x(v_1,v_2)$ unter der Nebenbedingung, dass die Faktorkosten den gegebenen Betrag $c$ nicht übersteigen dürfen (Nebenbedingung als Ungleichung). \begin{eqnarray*} &&x(v_1,v_2) \to \text{Max.}\\ \text{u.d.NB.}\quad &&q_1v_1 + q_2v_2 \leq c\\ && v_1, v_2\geq 0 \end{eqnarray*} Grafische Darstellung der Lösung:
Abb. Maximalproduktkombination
Lagrange-Ansatz: Da es sich um ein Maximierungsproblem handelt, wird die Nebenbedingung zu $c-q_1v_1-q_2v_2 \geq 0$ umgestellt. Der Sinn wird in den nachstehenden Kuhn-Tucker-Bedingungen deutlich. \[ \cL(v_1,v_2,\lambda) = x(v_1, v_2) + \lambda (c - q_1v_1 - q_2v_2) \] Unbekannte: $v_1$, $v_2$, $\lambda=$ Lagrange-Multiplikator
Parameter: $q_1$, $q_2$, $c$ sind zunächst als Konstante zu behandeln.
Entscheidend: $\cL$ nimmt in Bezug auf $v_1$, $v_2$ das Maximum dort an, wo auch die Zielfunktion $x$ maximal ist (und umgekehrt).
Kuhn-Tucker-Bedingungen: Notwendige Bedingungen 1. Ordnung (3 Gleichungen, 3 Variablen) \begin{eqnarray*} \abl{\cL}{v_1} &\leq 0, &\ \ & v_1^*\geq 0, &\ \ & \abl{\cL}{v_1} v_1^*=0,\\ \abl{\cL}{v_2} &\leq 0, && v_2^*\geq 0, && \abl{\cL}{v_2} v_2^*=0,\\ \abl{\cL}{\lambda} &\geq0, && \lambda^*\geq0, && \abl{\cL}{\lambda}\lambda^*=0 \end{eqnarray*} Unterstellt man eine innere Lösung, also $v_1^*>0$ und $v_2^*>0$, dann muss \begin{eqnarray*} \abl{\cL}{v_1} &= \abl{x(v_1^*,v_2^*)}{v_1} - \lambda^* q_1 = 0\\ \abl{\cL}{v_2} &= \abl{x(v_1^*,v_2^*)}{v_2} - \lambda^* q_2 = 0 \end{eqnarray*} erfüllt sein. Nun lässt sich $\lambda^*$ eliminieren \[ \frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{{\partial}x/{\partial}v_2} =\frac{q_1}{q_2} \quad\text{oder}\quad \frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{q_1}= \frac{{\partial}x/{\partial}v_2}{q_2}=\lambda^* \] Folglich muss bei positiven Grenznutzen auch $\lambda^*>0$ gelten, so dass \[ \abl{\cL}{\lambda} = c - q_1v_1^* - q_2v_2^* = 0 \] Fazit: Bei positiven Faktormengen, verhalten sich die Grenzproduktivitäten sich wie die Faktorpreise. Oder äquivalent, Gleichheit des Grenzerträge des Geldes $= \lambda^*$.
Nachdem $\lambda^*$ eliminiert worden ist, liegen 2 Gleichungen mit 2 Variablen (nämlich $v_1^*$ ,$v_2^*$) vor: \begin{eqnarray*} \text{Tangentialpunkt}\ \ &\text{GRS}=\frac{{\partial}x/{\partial}v_1}{{\partial}x/{\partial}v_2}=-\frac{\d v_2}{\d v_1}=\frac{q_1}{q_2}.\\ \text{auf der Budgetgleichung}\ \ &c = q_1v_1^*+q_2v_2^* \end{eqnarray*} Beachte: Mit den Kuhn-Tucker-Bedingungen werden auch Ecklösungen erfasst, in denen entweder $v_1^*=0$ oder $v_2^*=0$ gilt. In diesem Fall liegt keine Tangentiallösung mehr vor.
Aufgrund der Eigenschaften der Produktionsfunktion (vgl. GRS) und der Kostengerade (konstante Faktorpreise) liefert das Gleichungssystem Setzt man die Maximalproduktkombination in die Zielfunktion ein, dann ergibt sich die indirekte Produktionsfunktion als Lösung des Problems. \[ z(q_1,q_2,c)=q_1v_1^M(q_1,q_2,c)+q_2v_2^M(q_1,q_2,c) \] Expansionspfad (Variation des Kostensumme)