$\def\abl#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\d{\textrm{d}}$ $\def\vx{\textbf{x}}$

Wolds Theorem (Anmerkung)

Der Woldsche Preis \[ p_j^W(\vx)=\frac{\abl{u(\vx)}{x_j}} {\sum_{k=1}^n\abl{u(\vx)}{x_k} x_k}\qquad j=1,...,n \] entspricht dem normierten Güterpreis \[ p_j^W(\vx)=\frac{p_j}{y}. \] Für den Beweis ist zu beachten, dass die Grenzrate der Substitution im Haushaltsoptimum mit dem Güterpreisverhältnis übereinstimmt. \[ \frac{\partial u / \partial x_k}{\partial u / \partial x_j}=\frac{p_k}{p_j} \] Damit folgt für $j=1,...,n$ \[ p_j^W(\vx)=\frac{1}{\sum_k\frac{p_k}{p_j} x_k}= \frac{p_j}{\sum_k p_k x_k}=\frac{p_j}{y} \]
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