$\def\cL{\mathcal{L}}$ $\def\abl#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\d{\textrm{d}}$

Monotone Transformation einer Nutzenfunktion

Ausgangspunkt ist eine ordinale Nutzenfunktion \[ U = u(x_1, x_2). \] Die Funktion $F$ ist ein monotone Transformation von $U$, wenn für beliebige Nutzenniveaus $U'$ und $U''$ gilt: \[ U' > U'' \iff F(U') > F(U'') \] In diesem Fall beschreibt auch $W(x_1, x_2) = F\big(u(x_1, x_2)\big)$ die Präferenzordnung. Die Transformation $F$ verändert lediglich die Endgröße von $U$ sowie die Größe der Nutzenindizes der einzelnen Indifferenzkurven (bei gleichem effektiven Nutzen), nicht aber das System (insbesondere Lage) der Indifferenzkurven. Damit bleibt der optimale Verbrauchsplan unverändert.
Analytisch: Maximiere den Nutzen einer transformierten Nutzenfunktion \begin{eqnarray*} &&W(x_1, x_2) = F( u(x_1, x_2) ) \to \text{Max.}\\ \text{u.d.NB.} &&p_1x_1 + p_2x_2 = y\\ &&x_1, x_2 \geq 0 \end{eqnarray*} Die zugehörige Lagrange-Funktion \[ \cL(x_1,x_2,\lambda) = F( u(x_1, x_2) )+ \lambda (y - p_1x_1 - p_2x_2) \] liefert folgende Optimumbedingungen \begin{eqnarray*} \abl{\cL}{x_1} &=& \frac{\d F}{\d U} \abl{u}{x_1} - \lambda^* p_1 = 0\\ \abl{\cL}{x_2} &=& \frac{\d F}{\d U} \abl{u}{x_2} -\lambda^* p_2 = 0\\ \abl{\cL}{\lambda} &=& y - p_1x_1^* - p_2x_2^* = 0 \end{eqnarray*} Der Lagrange-Multiplikator $\lambda^*$ lässt sich eliminieren, indem die ersten beiden Gleichungen durcheinander dividiert werden. Dabei kürzt sich $\d F/\d U$ heraus; der optimale Konsumplan bleibt unverändert! \[ \text{GRS} = \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u/ \partial x_2} =\frac{p_1}{p_2} \]