Ausgabenfunktion vs. indirekte Nutzenfunktion
Die Ausgabenfunktion e(\vp, U) ist die Lösung des Problems der Ausgabenminimierung e(\vp, U)=\min_{\vx\geq\vO}\left\{\vp\trans\vx\ |\ U\leq u(\vx)\right\}, so wie die indirekte Nutzenfunktion v(\vp, y) das Problem der Nutzenmaximierung v(\vp, y)=\max_{\vx\geq\vO}\left\{u(\vx)|\ \vp\trans\vx\leq y\right\} bezeichnet. Neben der Symmetrie wird die Verwandschaft (Dualität) beider Probleme deutlich, wenn man den Parameter y der zweiten Problems mit der Lösung des ersten Problems gleichsetzt. Dann folgt y=e(\vp, U) \iff U = e^{-1}(\vp, y ) = v(\vp, y). Die indirekte Nutzenfunktion ist in Bezug auf das Budget die Umkehrfunktion der Ausgabenfunktion. Ganz analog ergibt sich U=v(\vp, y) \iff y = v^{-1}(\vp, U ) = e(\vp, U). Damit erhält die zunächst schwer interpretierbare indirekte Nutzenfunktion eine nahe Verwandte, nämlich die Ausgabenfunktion, deren Interpretation Ökonomen erheblich leichter fällt. indirekte Nutzenfunktion v(\vp, y)Ausgabenfunktion e(\vp, U)